运用数形结合思想解决初中数学二次函数问题

别刚

摘要：一说到初中数学很多人都会联想到函数、几何图形、实数、无理数以及方程等内容，其中函数部分的学习令很多学生感到头疼，自变量x与因变量y的关系让学生一头雾水，脑内很难有一个详细的概念。而数形结合的思想，能够帮助学生更加清晰、直观地理解与观察函数图形，将抽象的函数概念具体化，从而探究函数的奥秘。本文从“数”到“形”以及从“形”到“数”的转化入手，讲述如何灵活切换与变通，帮助学生提升学习二次函数的效率，解决二次函数教学难题。

关键词：数形结合  初中数学  二次函数

中图分类号：A 文献标识码：A

引言

在数学解题与学习的过程中，数形两者缺一不可。若形缺数，则难入微;若数缺形，则太抽象，只有两者结合，才能将问题具体化、形象化，便于学生思考与探究问题。学生运用数形结合的转化思想，将“抽象函数概念”与“直观图形”关联互补，这相当于在解决二次函数问题的过程中如虎添翼，锻炼学生思维能力、转化能力的同时，也能省时省力的理解二次函数的概念，加强学生对于二次函数的运用能力。

一.“数”到“形”的转化

相较于几何图形而言，二次函数涉及的知识面广，学生不仅需要理解图像本身的性质与涵义，还需要与坐标轴中的其他图形结合，探究图形与图形之间的关系，对于学生综合能力的考验较大。因此，初中数学教师在讲解二次函数课程的时候，需要引导学生“数”到“形”的转化，教导学生如何运用函数解析式来绘制图像，并且能够用一个坐标轴画出多个函数，从而帮助学生更加直观地观察函数之间的关系，解析函数综合题，提升动手能力与思维能力。

例如，“在一坐标轴第一象限当中，已知二次函数图像y=x²+4x+3与y=4x+k有一个交点，求k的取值范围。”像这类求取值范围的题目，经常出现在二次函数的例题与考题之中，是教师教授学生“数”与“形”转化思想的关键。学生如果以传统的计算方式，先要将两个函数建立方程式求实数根，根据b²-4ac≥0，得出k的取值范围k≥3。同时学生还需要根据题目信息“第一象限”的条件，最终得出k>3。不难发现，传统计算的方式要求学生有着较高的思维能力以及综合能力，对于后进生来说理解难度较大，很多学生一粗心也容易做错题目。因此，教师可以用数形结合思想，引导学生在坐标轴内画出抛物线图像，通过抛物线与一次函数在第一象限中的图像来解题。二次项系数a决定了开口方向，a>0开口向上，a<0开口向下，本题抛物线开口向上;c作为常数项，决定了与y坐标轴的交点，本题为（0，3）。根据二次函数算出抛物线的坐标轴为x=-2，学生能够画出准确的二次函数图像，并结合“第一象限”的关键词，学生能够一下子判断出k>3，从而加强学生对于函数的理解，提升学习效率。

二.“形”到“数”的转化

二次函数y=ax²+bx+c都是以y=ax²为原型在坐标中移动得来的抛物线，很多学生难以理解这一过程，无法掌握二次函数的本质。因此，教师可以引导学生“形”到“数”的转化，让学生从y=ax²入手，在坐标轴中左右移动，得出函数y=a（x-m）²，上下移动得到y=ax²+k的图像，深刻体会a，m，k等数据在函数图像中的表现，从而提取数据，解决二次函数对称轴、开口方向、顶点、与x轴交点等信息，并以此解决二次函数问题。

例如，“y=x²-2x+3的图像先整体向右平移4个单位，在向上平移1个单位，求平移后的函数解析式。”传统的解题方式是教师帮助学生理清因变量与自变量的关联性，结合题干中的信息得出y=（x-4）²-2（x-4）+3+1，整理后可得解析式为y=x²-10x+28。而“形”到“数”转化的方法是以顶点式解析，教师可以引导学生画出原函数的图像，得出顶点（1，2），之后直接将函数图像在坐标轴中平移，得出新的解析式顶点（5，3），从而得出新的函数解析式数据y=（x-5）²+3，最终整理得出解析式。教师也可以通过同题型加强学生的理解，通过变式，帮助学生在脑内构建函数知识框架，从而更为灵活地解决与运用函数知识。

三.“数”与“形”的切换

（一）数形结合，解决陌生题目

很多函数题目考的知识点都是相同的，就是题目换了些说法。因此，教师可以引导学生利用数形结合，将题目更直观的用图形展示出来，理解与解决陌生题型。学生在学习与探究二次函数时充满了乐趣，当一道题破解出来时，那满满的成就感，能够激发学生探究与学习的热情，培育“数形结合”的思想。

（二）融入生活，体会数学思想

生活中也时常能见到二次函数的身影，比如利润、工程建设、售价等方面。因此，教师可以融入生活化的元素，引导学生利用数形结合思想去解决问题，加强学生对于二次函数的理解与认知。

例如，教师可以用“定点投篮球”为例，排除干扰因素，设置二次函数问题，比如“y=-x²+4x是篮球的运动轨迹，y为篮球与地面之间的水平高度，x为运动时间，求篮球抛出至与第一次落地，一共需要多久？”。蕴含生活气息的题目能够帮助在坐标轴内建立二次函数图形，提高学生图像的想象与采集能力，学生将数据标注在图像之中，也能够加快学生的解题速度，优化题目框架，摒弃干扰信息，从而提高正确率，拓宽学生思维。

结束语

“数形结合”的思想与二次函数相碰撞，能够加强学生对于抛物线的理解能力，教师也需要在授课解题的过程中融入数形结合的思维模式，利用贴近生活的题目，加强学生“数”与“形”之间的灵活切换，培育其抽象思维能力，提高数学学习效率。

参考文献

[1]许志国.运用数形结合思想解决初中数学二次函数问题[J].试题与研究，2021（25）：15-16.

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[3]张林.数形结合思想在初中数学教学中的运用——以一次函数图像性质为例[J].试题与研究，2020（09）：5.

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