基于知识结构教学的初中数学单元设计研究——以“平面直角坐标系”单元设计为例

赵 翠

(山东省济南市莱芜区汶源学校,山东 济南 271100)

数学学习不是一蹴而就的,而是知识的吸收与再组织的过程,如果学生无法将学过的知识联系起来,那么这些知识在脑海中就是一盘散沙,无法学以致用.教材中知识的排版顺序虽然能够帮助学生快速掌握知识要点,却不利于学生站在宏观角度思考知识点之间的关联[1].因此,初中数学教师需要基于知识结构进行单元教学,让学生在学习时做到“瞻前顾后”,将单元内细碎的知识要点串联起来,最终汇总为系统的知识结构图.

要想带领学生透彻理解平面直角坐标系的内涵,首先需要了解平面直角坐标系是由什么构成的.教材中指出,平面直角坐标系是由两条互相垂直的数轴组成,且这两条数轴在原点处重合.因此,平面直角坐标系的教学讲解与数轴是分不开的.笔者认为,可从六个方面为学生讲解平面直角坐标系与数轴之间的联系：一是基本概念的讲解;二是两点之间的距离与其中点的坐标;三是关于原点对称的两个点之间存在什么坐标特征;四是数轴上的点与平面直角坐标系内点的运动问题;五是如何运用数轴以及坐标系解决实际问题;六是基于知识结构的数轴与平面直角坐标系总结.

1.1 基本概念的讲解

为了能够准确表示一条直线上的某一个点的位置,我们引出了数轴.教师可以借助生活情境进行教学,具体如例1.在此基础上,教师可以引导学生进行深层分析,如何精准表达某一个点在平面内的位置,此时引出何为平面直角坐标系,具体如例2.

例1 假设某一中学门外有一条南北向的马路,在大门往南8 m处种着一棵杨树,在大门往南5 m处种着一棵柳树,而在大门往北4 m处种着一棵苹果树,在大门往北6 m处安装了一根电线杆,请大家在纸上绘制出上述情境.

例2 在上面的分析中我们已经可以使用数轴表示一条直线上某一个点的位置,那么请大家思考如何确定一个平面上某一个点的位置.

教学意图：数轴及平面直角坐标系的概念都是在精准确定某一点位置的基础上提出的,前者为一维空间——直线,后者为二维空间——平面.

1.2 两点之间的距离与其中点的坐标

1.2.1两点之间的距离

要想确定数轴上两个点的距离,可以将这两个点的位置分别表示为a与b,那么它们之间的距离为|a-b|.

要想确定平面坐标上两个点的距离,我们可以将这两个点的位置表示为(x1,y1)及(x2,y2),此时它们间的距离有三种情况：

情况一：如果两个点的横坐标相同,即x1=x2,那么距离为|y1-y2|;

情况二：如果两个点的纵坐标相同,即y1=y2,那么距离为|x1-x2|;

教学意图：无论是数轴还是平面直角坐标系的学习,学生都需要掌握两点距离的计算方式[2].如果平面直角坐标系中两个点连成的直线能够与x轴或者y轴平行,那么我们就可以将其简化为数轴上两点距离的算法.如果这两个点连成的直线与x轴或者y轴不存在平行关系,那么学生就可以使用勾股定理进行计算.

1.2.2中点的坐标

例3 设数轴上存在一条线段AB,点C是该线段的中点,请大家计算出不同线段的中点位置,见表1.在计算完成后,请大家推理出数轴上线段中点坐标的计算公式.

表1 数轴上线段中点的位置

例4 设平面坐标系中存在八个点,我们将其位置表示为：A(-1,-1),B(3,3),C(1,1),D(1,4),E(-3,3),F(-1,1),G(5,-1),H(3,-2),I(3,2),J(1,-2),求CG,BE,DJ,HI,FF的中点坐标.在完成后思考：线段两点的坐标与中点坐标间存在什么关系?

教学意图：学生在学习完成数轴上线段中点的位置表示方式后,就可以根据这一规律来类比坐标系线中段中点位置的表示方式.

1.3 关于原点对称的两点之间的坐标特征

例5 已知的平面直角坐标系如下图1所示,当△ABC经过变换后可以得到△PQR,请写出不同点的坐标：A点坐标为____,B点坐标为____,C点坐标为____,P点坐标为____,Q点坐标为____,R点坐标为____.完成后请观察A点与P点、B点与Q点、C点与R点的坐标符号之间存在什么关系,并总结出一般规律.

图1 平面直角坐标系示意图

教学意图：学生在本环节学习中应当明白,当坐标系中某一点的坐标为(a,b)时,其关于原点对称的点的坐标为(-a,-b),即两个点的横坐标互为相反数,纵坐标也互为相反数.

1.4 数轴上的点与平面直角坐标系内点的运动

例6 设某一数轴上存在两个点A与B,其位置分别为-8和9.动点P将从点B开始以每秒两个单位的速度向负方向移动,动点Q将从点A开始以每秒一个单位的速度向正方向移动,当运动了t秒后,请写出两个动点P与Q的位置.

例7 坐标系内存在一点A,其坐标为(8,-3).将点A先沿y轴向上移动4个单位,得到点B,该点的坐标为多少?若将点A先沿x轴向右移动4个单位,得到点C,该点的坐标为多少?请观察点B与点C的坐标,你能发现怎样的规律?

教学意图：学生可以发现,数轴上动点的变化规律与坐标内动点的变化规律是相似的.

1.5 运用数轴以及坐标系解决实际问题

例8 某市的货运车司机王师傅在某一天上午一直行驶在南北走向的公路上,如果我们将朝南的方向设为正方向,朝北的方向设为负方向,那么王师傅这一段时间的位置变化为(单位为km)：-4,-1,+5,-7,+10,-3,+13,当王师傅将最后一件货物送完后,终点距离最开始的距离有多远,终点在出发点的哪个方向上?

例9 在长方形ABCD中,AB=6,BC=4,以AB边所在的直线为x轴,A点原点,AD边所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系.请根据以上信息写出长方形四个点的坐标位置.如果改变平面直角坐标系,那么这四个顶点的坐标又会发生怎样的变化?

教学意图：当面对生活问题时,很多学生难以将关键信息运用起来,此时我们可以构建数轴以及坐标系来刻画某一点的位置,将复杂的问题简单化.

《平面直角坐标系》这一单元的内容在初中数学教学中十分重要,学生在后续的知识学习中还使用坐标系作为解题工具,教师应当深度挖掘教材内容,引导学生进行深层分析[3].然而《平面直角坐标系》单元的内容较为零散,如何有效运用知识结构开展单元教学设计,这是一个值得深思的问题.

2.1 如何讲解单元知识

课堂中教师需要做好知识衔接的准备,先为学生讲解数轴知识,并以此为基础展开坐标系模块的教学.该过程应当引导学生思考数轴与坐标系知识间的联系,从而帮助学生更加系统地理解平面直角坐标系.例如,教师在为学生讲解如何计算“坐标系内两点之间的距离”时,切不可直接将推导过程展示给学生,而是应当启发学生对“数轴上两点之间的距离”的计算方式进行深度思考,并以此为基础推导出平面直角坐标系内两点的距离计算方式.这一教学方法不仅可以提升学生的自主探究力,更是能够加强学生对两个知识点的理解.

2.2 如何引导学生思考

当学生在学习完成数轴知识内容后,教师需要将此作为教学基础开展后续的平面直角坐标系教学,该方式可以让学生面对新知识时不再犯怵,而是可以主动运用数轴规律进行推导.由此看来,基于知识结构的单元教学设计并不是简单的知识堆砌,其可以帮助学生将琐碎的知识点汇集起来,最终成为一个整体.当学生能够理解数轴与平面直角坐标系之间的联系时,就能够实现一维至二维的飞跃,数学思维得到不断完善.

2.3 如何开展后续学习

当学生学习完成数轴以及平面直角坐标系的内容后,教师可以引导学生思考：我们如何表示某一个点在三维空间中的位置呢?该扩展性问题可以让学生对空间直角坐标系产生基本的认知.基于之前的知识结构和学习经验,学生可以很快根据平面直角坐标系的概念推理出空间直角坐标系的概念,并参照教师课堂中的教学流程,通过合作学习的方式分析空间内两个点的距离的计算公式、空间内两个点构成的线段的中点位置表示方式及运用空间直角坐标系解决实际问题.

通过上述的分析能够发现,运用知识结构开展单元设计能够很好地解决以往教学中知识割裂的状态.该教育理念认为初中数学教师应当根据知识的内在结构进行系统教学,鼓励学生探究不同知识要点间的关联.因此,数学教师必须熟悉教材中不同单元知识点的联系,并通过清晰明了的单元设计方案引导学生构建系统的知识体系及逻辑结构.实践表明,基于知识结构的单元设计能够有效提升初中学生的数学思维,让学生在课堂学习中完成知识的迁移,最终形成完善的核心素养.

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