2023年度《圆一般方程》教学设计

引

入

1. 圆心为C(a，b)，半径为r(r＞0)的圆的标准方程是什么？

2. 回答下列问题

（1）以原点为圆心，半径为3的圆的方程是 ；

（2）圆(x－1)2＋(y＋2)2＝25的圆心坐标是 ，半径是．

3. 直线方程有多种形式，圆的方程是否还有其他的形式？

师：上节课我们学习了圆的标准方程，请同学们回顾一下，圆心坐标为(a，b)，半径为r的圆的方程是什么？

学生回答教师提出的问题．

学生口答，教师点评．

教师类比直线方程提出问题．

回顾上节所学内容，为学习新知做好准备．

新

课

新

课

新

课

探究一

（1）请将圆心在(a，b)半径为r的圆的标准方程展开；

（2）展开后得到的方程有几个未知数？最高次是几次？这个方程是几元几次方程？

（3）如果令－2a＝D，－2b＝E，a2＋b2－r2＝F，这个方程是什么形式？

（4）任意一个圆的方程都可表示为

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0

的形式吗？

探究二

（1）请举出几个形式为

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0

的方程；

（2）你所举出的方程一定表示圆吗？

下述方程表示的是圆吗？

x2＋y2＋2x＋2y＋8＝0，

x2＋y2＋2x＋2y＋2＝0，

x2＋y2＋2x＋2y＝0．

探究三

满足怎样的条件时，方程

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0①

表示圆？

将方程配方，得

(x＋2(D))2＋(y＋2(E))2＝4(D2＋E2－4F)． ②

（1）当D2＋E2－4F>0时，方程①表示以(－2(D)，－2(E))为圆心，且半径为2(1)的圆；

（2）当D2＋E2－4F＝0时，方程①表示点(－2(D)，－2(E))；

（3）当D2＋E2－4F<0时，方程①

不表示任何图形．

圆的一般方程

当D2＋E2－4F>0时，方程

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0

叫做圆的一般方程．

练习一

求出下列圆的圆心及半径：

（1）x2＋y2－6x＝0；

（2）x2＋y2－4x－6y＋12＝0.

例1求过点O(0，0)，M(1，1)，N(4，2)的圆的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标．

解：设所求圆的方程为

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

其中D，E，F待定．

由题意得

4D＋2E＋F＋20＝0(D＋E＋F＋2＝0)

解得

D＝－8，E＝6，F＝0．

于是所求圆的方程为

x2＋y2－8x＋6y＝0．

将这个方程配方，得

(x－4)2＋(y＋3)2＝25．

所以所求圆的圆心坐标是(4，－3)，半径为5．

练习二

求经过三点(0，0)，(3，2)，(－4，0)的圆的方程．

例2已知一曲线是与两个定点O(0，0)，A(3，0) 距离比为2(1)的点轨迹，求这个曲线的方程．

解 在给定的坐标系中，设M(x，y)是曲线上的任意一点，点M在曲线上的充要条件是

|AM|(|OM|)＝2(1)．

由两点间的距离公式，上式可用坐标表示为

＝2(1)，

两边平方并化简，得曲线方程

x2＋y2＋2x－3＝0．

将方程配方，得

(x＋1)2＋y2＝4.

所以所求曲线是以C(－1，0)为圆心，半径为2的圆．

练习三

求与两定点A(－1，2)，B(3，2)的距离比为的点的轨迹方程．

学生解决教师提出的问题，教师点评．

师：在方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋ F＝0中D，E，F是常数吗？为什么？

学生回答教师提出的问题．

学生思考教师提出的问题．

师：将方程x2＋y2＋2x＋2y＋ 8＝0配方，你能得到怎样的方程？

学生根据教师提示分组解答，配方后方程分别为

(x＋1)2＋(y＋1)2＝－6，

(x＋1)2＋(y＋1)2＝0，

(x＋1)2＋(y＋1)2＝2．

学生猜想．

教师强调配方法的应用，引导学生解答．

师：将方程②同圆的标准方程比较，如果方程②表示圆，必须满足怎样的条件？

此时圆的圆心坐标是多少？圆的半径呢？

学生回答，教师点评．

师：由以上探究可知，只有当D2＋E2－4F>0时，方程

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0

才表示一个圆．

师：圆的标准方程指明了圆的圆心和半径，圆的一般方程表明了圆的方程形式是二元二次方程．

学生练习，教师巡视时应当引导学生用配方法求解．

师：确定一个圆的标准方程需要知道哪几个值？要确定圆的一般方程呢？

学生回答．

师：先设所求方程为

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．

师：根据圆经过三个点，这三个点的坐标应满足方程，所以我们会得到一个三元一次方程组．

教师引导学生解方程组．

师：求出D，E，F的值，所求圆的方程也就确定了．

师：像这种求圆的一般方程的方法叫待定系数法．

师：类似前面的讨论，我们可以用配方法表示出圆的标准方程，然后写出圆心坐标及半径．

学生练习，教师巡视．

师：请同学们回顾一下推导圆的标准方程时的过程．

学生看书回顾，教师指明推导标准方程的主要步骤．

师：设动点，写出动点M满足的条件．

师：用点的坐标表示M满足的几何条件．

师：化简方程．

教师演示所得图形曲线．

学生练习，教师巡视．

使学生初步了解圆的一般方程的形式．

强调方程中D，E，F是常数．

加深对圆的一般方程形式的认识．

学生通过举例验证引出问题（2）．

让学生主动猜想．

强调配方法在解决二次问题中的应用．

类比圆的标准方程，探究方程二元二次方程表示圆的条件．

强调圆的标准方程和一般方程的特点．

让学生了解待定系法求圆的方程的一般步骤．

类比推导圆的标准方程的步骤，让学生初步感悟求曲线方程的一般步骤和方法．

强化训练．

小

结

1．圆的一般方程是

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

其中D2＋E2－4F>0．

2．待定系数法求圆的一般方程．

学生在教师的引导下回顾本节主要内容．

简洁明了概括本节课的重要知识，学生易于理解记忆．

作

业

学生标记作业．

针对学生实际，对课后书面作业实施分层设置．