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2023年度《圆一般方程》教学设计

来源:专题范文 时间:2023-03-12 03:40:01

下面是小编为大家整理的2022年度《圆一般方程》教学设计,供大家参考。

2022年度《圆一般方程》教学设计

《圆的一般方程》教学设计

【教学目标】

1.掌握圆的一般方程,能判断一个二元二次方程是否是圆的方程.

2.能根据圆的一般方程求出圆心坐标和半径,会用待定系数法求圆的方程.

3.进一步培养学生数形结合的能力,综合应用知识解决问题的能力.

【教学重点】

圆的一般方程.

【教学难点】

二元二次方程与圆的一般方程的关系.

【教学方法】

这节课主要采用讲练结合的方法.首先由圆的标准方程展开得到圆的一般方程,然后讨论一个二元二次方程满足什么样的条件才能表示圆.最后通过例题,让学生初步感悟待定系数法和求曲线方程的一般步骤.

【教学过程】

环节

教学内容

师生互动

设计意图

1. 圆心为C(a,b),半径为r(r>0)的圆的标准方程是什么?

2. 回答下列问题

(1)以原点为圆心,半径为3的圆的方程是 ;

(2)圆(x-1)2+(y+2)2=25的圆心坐标是 ,半径是.

3. 直线方程有多种形式,圆的方程是否还有其他的形式?

师:上节课我们学习了圆的标准方程,请同学们回顾一下,圆心坐标为(a,b),半径为r的圆的方程是什么?

学生回答教师提出的问题.

学生口答,教师点评.

教师类比直线方程提出问题.

回顾上节所学内容,为学习新知做好准备.

探究一

(1)请将圆心在(a,b)半径为r的圆的标准方程展开;

(2)展开后得到的方程有几个未知数?最高次是几次?这个方程是几元几次方程?

(3)如果令-2a=D,-2b=E,a2+b2-r2=F,这个方程是什么形式?

(4)任意一个圆的方程都可表示为

x2+y2+Dx+Ey+F=0

的形式吗?

探究二

(1)请举出几个形式为

x2+y2+Dx+Ey+F=0

的方程;

(2)你所举出的方程一定表示圆吗?

下述方程表示的是圆吗?

x2+y2+2x+2y+8=0,

x2+y2+2x+2y+2=0,

x2+y2+2x+2y=0.

探究三

满足怎样的条件时,方程

x2+y2+Dx+Ey+F=0①

表示圆?

将方程配方,得

(x+2(D))2+(y+2(E))2=4(D2+E2-4F). ②

(1)当D2+E2-4F>0时,方程①表示以(-2(D),-2(E))为圆心,且半径为2(1)的圆;

(2)当D2+E2-4F=0时,方程①表示点(-2(D),-2(E));

(3)当D2+E2-4F<0时,方程①

不表示任何图形.

圆的一般方程

当D2+E2-4F>0时,方程

x2+y2+Dx+Ey+F=0

叫做圆的一般方程.

练习一

求出下列圆的圆心及半径:

(1)x2+y2-6x=0;

(2)x2+y2-4x-6y+12=0.

例1求过点O(0,0),M(1,1),N(4,2)的圆的方程,并求出这个圆的半径和圆心坐标.

解:设所求圆的方程为

x2+y2+Dx+Ey+F=0,

其中D,E,F待定.

由题意得

4D+2E+F+20=0(D+E+F+2=0)

解得

D=-8,E=6,F=0.

于是所求圆的方程为

x2+y2-8x+6y=0.

将这个方程配方,得

(x-4)2+(y+3)2=25.

所以所求圆的圆心坐标是(4,-3),半径为5.

练习二

求经过三点(0,0),(3,2),(-4,0)的圆的方程.

例2已知一曲线是与两个定点O(0,0),A(3,0) 距离比为2(1)的点轨迹,求这个曲线的方程.

解 在给定的坐标系中,设M(x,y)是曲线上的任意一点,点M在曲线上的充要条件是

|AM|(|OM|)2(1)

由两点间的距离公式,上式可用坐标表示为

2(1)

两边平方并化简,得曲线方程

x2+y2+2x-3=0.

将方程配方,得

(x+1)2+y2=4.

所以所求曲线是以C(-1,0)为圆心,半径为2的圆.

练习三

求与两定点A(-1,2),B(3,2)的距离比为的点的轨迹方程.

学生解决教师提出的问题,教师点评.

师:在方程x2+y2+Dx+Ey+ F=0中D,E,F是常数吗?为什么?

学生回答教师提出的问题.

学生思考教师提出的问题.

师:将方程x2+y2+2x+2y+ 8=0配方,你能得到怎样的方程?

学生根据教师提示分组解答,配方后方程分别为

(x+1)2+(y+1)2=-6,

(x+1)2+(y+1)2=0,

(x+1)2+(y+1)2=2.

学生猜想.

教师强调配方法的应用,引导学生解答.

师:将方程②同圆的标准方程比较,如果方程②表示圆,必须满足怎样的条件?

此时圆的圆心坐标是多少?圆的半径呢?

学生回答,教师点评.

师:由以上探究可知,只有当D2+E2-4F>0时,方程

x2+y2+Dx+Ey+F=0

才表示一个圆.

师:圆的标准方程指明了圆的圆心和半径,圆的一般方程表明了圆的方程形式是二元二次方程.

学生练习,教师巡视时应当引导学生用配方法求解.

师:确定一个圆的标准方程需要知道哪几个值?要确定圆的一般方程呢?

学生回答.

师:先设所求方程为

x2+y2+Dx+Ey+F=0.

师:根据圆经过三个点,这三个点的坐标应满足方程,所以我们会得到一个三元一次方程组.

教师引导学生解方程组.

师:求出D,E,F的值,所求圆的方程也就确定了.

师:像这种求圆的一般方程的方法叫待定系数法.

师:类似前面的讨论,我们可以用配方法表示出圆的标准方程,然后写出圆心坐标及半径.

学生练习,教师巡视.

师:请同学们回顾一下推导圆的标准方程时的过程.

学生看书回顾,教师指明推导标准方程的主要步骤.

师:设动点,写出动点M满足的条件.

师:用点的坐标表示M满足的几何条件.

师:化简方程.

教师演示所得图形曲线.

学生练习,教师巡视.

使学生初步了解圆的一般方程的形式.

强调方程中D,E,F是常数.

加深对圆的一般方程形式的认识.

学生通过举例验证引出问题(2).

让学生主动猜想.

强调配方法在解决二次问题中的应用.

类比圆的标准方程,探究方程二元二次方程表示圆的条件.

强调圆的标准方程和一般方程的特点.

让学生了解待定系法求圆的方程的一般步骤.

类比推导圆的标准方程的步骤,让学生初步感悟求曲线方程的一般步骤和方法.

强化训练.

1.圆的一般方程是

x2+y2+Dx+Ey+F=0,

其中D2+E2-4F>0.

2.待定系数法求圆的一般方程.

学生在教师的引导下回顾本节主要内容.

简洁明了概括本节课的重要知识,学生易于理解记忆.


学生标记作业.

针对学生实际,对课后书面作业实施分层设置.

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