以“数量关系”撬动学生数学素养的提升——兼评两则《加法数量关系》教学设计

文|周卫东（特级教师）

数量关系是运用数与符号对现实世界中的数量之间的关系、性质或规律的表达，是解决问题的核心。数学课程经历多轮改革，数量关系始终是数学教学的核心内容。在当前素养导向的新课程改革背景下，数量关系的教学内容做了哪些调整？又承载着怎样的育人价值？可以通过何种教学路径达成素养提升呢？

（一）数量关系的内涵

数量是现实问题中的客观存在，任何事物都具有数量属性。其中量是物质的属性，量又存在两种类型，其中广延量是可以直接度量的量，如长度、高度等；
强度量则指无法直接测量的量，如速度、温度等。而数是经由度量产生的结果，是用来描述量的语言工具。数量之间存在着多元的关系，如大小关系、顺序关系、相等关系、包含关系等，其中相等关系和不等关系是数量关系的主要表现形式，小学阶段主要探讨的是相等关系。

由此可见，数量关系是学生以定量运算的方式在头脑中建构的关于量之间的关系结构，而数是用来计算量的值的工具。因此，数量关系与数的运算也有着紧密的联系。如上图所示，运算的意义是现实问题中数量关系的反映，如加法表示两个数量的合并，而运算的结果则是以定量的方式实现了问题解决。其中，数量关系是解决问题的核心，是沟通数学与现实世界的桥梁。

（二）数量关系主题的编排特点

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“2022年版课标”）中首次以“结构化整合”的方式，将“常见的数量关系”“式与方程”“正比例、反比例”“探索规律”以及运用四则运算的意义解决问题等内容统整为“数量关系主题”，该主题呈现出下面两个显著的特征。

1.由零散到结构。原有零散的教学内容以数量关系为主线进行了结构化重组，并依据学生的认知逻辑分为了三个学习阶段（如下图）。第一学段着力于运用运算意义的学习，第二学段着力于数量关系的提炼，第三学段着力于用字母表示关系或规律。其中，“建立模型”阶段最为关键，既是对前一学段运算学习经验的概括和总结，也是后续进一步形成一般化表达、发展代数思维的基础。

2.由内隐到外显。学习内容的结构化呈现，更加凸显了原本隐含其中的本质特点，使以“暗线”形式存在的数量关系得以外显，数量关系的学习过程也更加完备。作为教学任务的数量关系，进一步凸显了数学模型在解决现实问题中的意义，并关联抽象和推理能力，促进了学生数学素养的全面提升。

（三）数量关系的育人价值

数量关系的学习使学生能够以定量的方式认识和理解世界，不仅是有效解决问题的一种方法，更是一种理性思维的体现，有助于学生深刻认识问题本质，对其发展意义重大。从学生学习的过程来看，数量关系学习的核心是模型建构。在小学阶段，数学模型的建构不应只是一个以模型为目标的“硬件”，更应该是一个从问题情境中提炼数学要素、确定关键元素、发现关键元素之间的关联，并逐步做出数学表达的“软件”。在这个过程中，数学语言是不可或缺的成分，并且在发现、酝酿、提炼和选择数学语言，建构数学模型的过程中也离不开抽象和推理能力的支持。因此，数量关系的教学可以以一种完整的方式支持学生数学素养的全面提升，在数量关系的教学中应该着力关系的发现，将生活问题在逐层抽象中完成数学化，培养学生数学的眼光；
着力关系的理解，以运算能力和推理意识为底色，发展学生数学的思维；
着力关系的应用，以数学的方式描述和认识真实世界，深化学生数学的表达。

加法数量关系的建构应基于学生已有的、大量的利用加法运算解决问题的经验。因此，教学的第一步应该是提供一组有关联但又形式不同的情境，促使学生理解情境、激活经验、感知关系，发现纷繁复杂的大千世界中蕴含着内在规律，这一抽象的过程发展了学生数学的眼光。在明晰数量关系的阶段，学生首先需要借助符号和图示表征数量关系，经历运用符号表示数量、关系和一般规律的过程，发展符号意识；
而感受几何直观在把握问题本质、明晰思维路径中的价值，则发展了几何直观素养；
在运用模型解决实际问题的过程中，又进一步培育了应用意识和创新能力。

“加法数量关系”是2022年版课标在第二学段“数量关系”中新增的内容，旨在帮助学生在理解加法运算含义的基础上，逐步认识并掌握“总量=分量+分量”这一加法模型的本质。顾悦老师的《着力培养学生的模型意识》（后简称设计一）和江晓丽老师的《提供多维支架 促进深度理解》（后简称设计二），可以让我们全面而深入地理解“加法数量关系”，进而引发我们进一步思考如何科学且有效地实施“数量关系”的教学。

（一）多层抽象，经历建模过程

1.基于具体情境和加法学习的已有经验，完成了对具体数量关系式的抽象。“模型思想就是用数学的语言讲述现实世界的故事，数学模型构建了数学与现实世界的桥梁。”两则设计都以“情境串”的方式把学生带到具体的现实生活场景中。设计一借鉴了2022年版课标第105 页例13 中的素材，而设计二则编拟了课后服务“15 分钟教育圈”美术社团的素材。尽管题材不同，但都以复式统计表呈现的方式，激活了学生已有的加法经验，在稍复杂的现实情境中激活学生已有的经验和知识储备，形成了三道指向具体且各不相同的加法数量关系式，为更为上位的抽象概括和模型建构提供了“结构化”的基础材料。

2.基于数量关系式共性的提取，完成了对加法模型本质的儿童化表征。数学模型的教学采取“告知”和“灌输”都是不可取的，必须要有学生的“在场”，以学生理解召唤学科本质。这个阶段，学生会形成一些对问题试探性的理解和本真化的表达，是数学模型的“中间”环节。这些多元表征尽管是零散的、粗糙的，却正是他们对数学本质的首次直觉，包含着丰富的教学价值，是值得珍视和加工的素材。两则设计深谙此道。设计一，围绕“星期六上午一共有多少人参观”，让学生列式后画一画用加法做的道理；
设计二，围绕三个不同的加法数量关系式，提出“它们有没有共同特点？”这一大问题，让学生写一写、画一画，来提取几道具体数量关系式的共同元素，学生表征的这些“半成品”，都成为教学现场的第一手材料。

（二）多元素材，丰厚模型理解

学生能否理解数量关系取决于是否能经由量的识别与关联在头脑中建构起关系网络，教师在支持学生理解关系的全过程中，应鼓励学生学会讲道理，进行有条理地思考和表达，这些都指向了推理意识的发展。

1.涵盖全面，注重推理。放眼抽象过程，两则设计都提供了多元的加法情境，在保留2022年版课标例13“合并型”素材的基础上，又融入了不同类型，即“添加型”和“还原型”，并在练习中突破“比较型”这一难点。看似不同的素材和类型丰富了学生对加法数量关系的感受，为后续提取共性、建构模型提供了丰富的资源。学生在自主解决这些问题的过程中，初步感知了加法数量关系，形成了提取数量关系的逻辑雏形，为后续引领学生逐步剥离具体情境，在对比分析中接近数学本质提供了经验支持。两则教学在环节的设计上稍有不同。设计一在课始提供的三个情境都是“合并型”，而设计二在课始提供的三个情境包含“合并型”“还原型”和“添加型”。两种设计各有特点，前者聚集同一类型，学生容易理解、发现本质特征，“儿童味”更浓；
后者涵盖的类型多，抽象出来的特征更具有普适性，“数学味”更浓。

2.挖掘价值，深化理解。同样的素材在不同的视角下会彰显不同的教学价值。好的教学素材不在于多，而在于精，起到“以一当十”的效果。两则设计都能充分体现这一特点，在情境串的导引下，让多种内隐的目标“显山露水”。第一，让学生理解“分量的层级累加可以得到更大的分量”。设计一在最后的练习阶段，设计了食堂采购鱼、肉、鸡蛋三种荤菜的情境，让学生感受分量不止两个，可以通过分量叠加的方式进行合并，最后得到数学规定中的两个分量；
而设计二则创设了为“三（1）班有多少人”选条件的问题，在条件③和条件⑤中的数据相加得不到全班39 人的冲突状态下引发学生思考，得到“分量之和必须与总量相等”“一个总量也可以对应多个分量”“分量的层级累加可以得到更大的分量”等高阶元素。第二，让学生理解“相同总量，分类标准不同，分量也不同”。设计一让学生解答“星期六一共有多少人参观”，设计二则引导学生思考“美术社团共有多少人参观”，这两个问题都可以从不同角度思考，进而让学生理解“相同总量，分类标准不同，分量也不同”的特点。第三，让学生理解“同一个数量在不同情境中既可能是总量，也可能是分量”。如设计一让学生思考“解决第一个问题时，星期六上午的人数是总量，到了第三个问题为什么它却变成了分量？”“星期六一共参观的人数还有可能是谁的分量？”等问题，这样的教学，让学生对加法模型的理解具体入微、逐渐深入。

（三）多维应用，凸显模型价值

在应用环节，数量关系的教学应采用多样的形式促进学生对数量关系的理解走向深入，使其感受数量关系的统摄价值和普适价值，领略数学表达的高度凝练与包罗万象，进一步提升学生的模型意识和应用意识。

1.减法模型的推衍。在运用环节，相同素材不同维度的深挖，让模型的普适价值尽显。如对减法模型的推理和运用。在数量关系中，加法是四则运算的基础，更是构筑数学知识大厦的基石。两则设计都以加法数量关系为根基，进一步通过“逆推”的思想延展出减法。当学生借助自主表征，逐步理解加法数量关系的内涵之后，借助模型直接推导分量和总量之间的关系。如设计二，在教学中追问“求总量我们用加法，那如果已知总量和其中一个分量，求另一个分量，该怎么办呢？”直接推理出“分量=总量－分量”，再引导学生回归现实素材，将加法问题改编为求分量的两类减法问题，这样，让学生经由逆向推理的过程，进一步勾联模型的外部关联。

2.分量类型的拓展。两则设计都能在练习阶段强化数量关系的深刻内涵，让学生充分感受看似“小儿科”的加法问题后面竟然涵盖着如此丰富的内涵，从而体会数学的无穷魅力。比如设计二，精心设计了为“三（1）班的总人数”这一总量寻找分量的开放情境，让学生不仅在“关系识别”中运用了各类“加法模型”，也达成了对乘加的再度理解、对“多个分量”的高度抽象、以及对各分量“不重不漏”的深刻认识。这样的深度教学，让学生对加法模型的理解走向深入，并进而震撼于加法模型的统摄价值和普适价值，感慨于数学表达的高度凝练与千变万化。

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