变化磁场力的冲量及应用

许 文

(华中科技大学附属中学)

物体所受合力的冲量等于其动量的变化,即动量定理,它是力学中重要的物理规律。动量定理既适用于恒力的作用,也适用于变力的作用;既适用于直线运动,也适用于曲线运动。在导体棒做切割磁感线运动的有关电磁感应问题中,导体棒中的电流与受到的安培力FA大小往往随导体棒运动的速度变化而变化;带电粒子在磁场中做圆周运动时受到的洛伦兹力F的方向是不断变化的。本文将推导出以上两类变化磁场力的冲量有关结论,并通过2023年高考实例的分析,谈谈用动量定理分析处理变化磁场力作用下的有关问题。

图1

上式表明,做切割磁感线运动的导体棒受到变化的安培力的平均冲量大小IA可以通过一段时间内流过电路中的电荷量q或电路中磁通量的改变量ΔΦ来求出,从而为利用动量定理来定量分析研究这类电磁感应问题带来方便。

【例1】(2023全国甲卷第25题)如图2,水平桌面上固定一光滑U形金属导轨,其平行部分的间距为l,导轨的最右端与桌子右边缘对齐,导轨的电阻忽略不计。导轨所在区域有方向竖直向上的匀强磁场,磁感应强度大小B。一质量为m、电阻为R、长度也为l的金属棒P静止在导轨上。导轨上质量为3m的绝缘棒Q位于P的左侧,以大小为v0的速度向P运动并与P发生弹性碰撞,碰撞时间很短。碰撞一次后,P和Q先后从导轨的最右端滑出导轨,并落在地面上同一地点。P在导轨上运动时,两端与导轨接触良好,P与Q始终平行。不计空气阻力。求:

图2

(1)金属棒P滑出导轨时的速度大小v;

(2)金属体P在导轨上运动过程中产生的热量Q;

(3)与P碰撞后,绝缘棒Q在导轨上运动的时间。

【分析】绝缘棒Q与静止的金属棒P发生弹性碰撞,由弹性碰撞遵循的动量守恒与机械能守恒可求出碰后两棒的速度;碰后绝缘棒Q做匀速运动到桌边离开导轨做平抛运动;金属棒P做切割磁感线运动,回路中产生感应电流,棒P受到向左的安培力大小与其运动速度大小有关,做变加速运动,直到桌边离开导轨后做平抛运动。第(1)问根据平抛运动规律与两棒平抛落地点相同,可知金属棒P滑出导轨时的速度大小v与两棒碰后Q棒在导轨上匀速运动的速度相同;第(2)问根据金属体P在导轨上运动过程中动能的变化由能量守恒定律求出在导轨上运动过程中产生的焦耳热;第(3)问求绝缘棒Q在导轨上运动的时间,关键是求出两棒的碰撞位置与桌边的距离x,这个距离可通过两棒碰后金属棒P在导轨上做变加速运动过程,由安培力冲量的推论与动量定理求出。

图3

-BqvyΔt=mΔvx,可得Δpx=-Bq∑vyΔt=

-Bqy0

BqvxΔt=mΔvy,可得Δpy=Bq∑vxΔt=Bqx0

上式表明,带电粒子在匀强磁场中做一段圆周运动过程中受到变化的洛伦兹力的平均冲量大小I等于B、q及此过程运动中粒子运动的位移大小a三者的乘积,从而为利用动量定理来定量分析研究这类带电粒子在匀强磁场中的偏转问题带来方便。

【例2】(2023浙江6月卷第20题)利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图4所示,xOy平面(纸面)的第一象限内有足够长且宽度均为L、边界均平行x轴的区域Ⅰ和Ⅱ,其中区域Ⅰ存在磁感应强度大小为B1的匀强磁场,区域Ⅱ存在磁感应强度大小为B2的磁场,方向均垂直纸面向里,区域Ⅱ的下边界与x轴重合。位于(0,3L)处的离子源能释放出质量为m、电荷量为q、速度方向与x轴夹角为60°的正离子束,沿纸面射向磁场区域。不计离子的重力及离子间的相互作用,并忽略磁场的边界效应。

图4

(1)求离子不进入区域Ⅱ的最大速度v1及其在磁场中的运动时间t;

【解析】解法1:(1)当离子不进入磁场Ⅱ速度最大时,轨迹与边界相切,则由几何关系有

L=r1(1-cos60°),解得r1=2L

(2)B2=2B1,可知r1=2r2;离子在磁场中运动轨迹如图5。设O1O2与磁场边界夹角为α,由几何关系有

图5

(3)当最终进入区域Ⅱ的离子若刚好到达x轴时速度沿x轴方向,由动量定理有BqvyΔt=mΔvx,两边求和有Bqy0=m(v-vcos60°),即B1qL+B2qL=mv(1-cos60°)

图6

利用变化磁场力冲量的两个推论,结合动量定理可以定量分析研究导体杆受变化的安培力作用做切割磁感线运动与带电粒子在磁场中受变化洛伦兹力作用下做曲线运动的有关问题。利用变化磁场力冲量分析这类问题也体现了微积分思想。

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