运用多元表征培养学生数感的教学探索

作者简介：陆桂莉，1985年生，广西南宁人，本科，一级教师，主要研究方向为小学数学教育。

摘 要：数感是小学数学核心素养的主要表现之一。自《义务教育数学课程标准（2022年版）》实施以来，数感的培养得到了中小学数学教育界格外的重视。小学数学教师虽然都知道培养学生数感的重要性，但如何通过优化数概念教学培养学生数感，仍然是个难以突破的实践难题。以人教版数学二年级下册“1 000以内数的认识”教学为例，通过整合教材中的例2和例3展开课例研究，教师可以借助“情境引数，建立数感”“活动感数，发展数感”“生活悟数，提升数感”这三个教学步骤，运用数学多元表征的学习方式，整体优化数概念课堂教学，从而构建起数概念教学“三部曲”，培养学生数感。

关键词：多元表征；
培养数感；
情境引数；
活动感数；
生活悟数

中图分类号：G62 文献标识码：A 文章编号：0450-9889（2024）10-0065-04

数学概念是整个数学知识结构的基础，其中数概念的教学核心是培养学生的数感。然而，在实施小学低年级的数概念教学时笔者发现，一些学生对数概念的学习内容并不是十分感兴趣，认为这些有关数的认识的学习自己早已知道。事实上，这种“知道性”学习，往往是只知其然而不知其所以然，学完以后依然说不出数的意义，对数的感知能力依然薄弱，更不会在生活中感知数、运用数、表达数，无法形成良好的数感。此外，许多教师在数概念教学中也存在一定的问题，比如重趣味轻实效、重内涵轻外延、重抽象轻表象、重结论轻过程、重实物表征轻语言表达、重概念建构轻知识应用等。一些教师甚至对数感的培养存在认知上的盲区：只知道数感在小学数学教学中很重要，但如何在教学中落实对学生数感的培养并不是十分清楚，也没有进行过相关的研究。那么，如何在教学中培养学生的数感呢？笔者认为，数学概念具有一定的抽象性，数概念对低年级小学生来说尤其抽象难懂，而小学低年级又是学生学习数概念较为集中的阶段，在低年级的数学课堂教学中培养学生的数感，是非常值得探究的问题。

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《2022年版数学课标》）明确指出，数感主要是指对于数与数量、数量关系及运算结果的直观感悟［1］7。由此可以看出，对于抽象的数概念教学，《2022年版数学课标》更加强调了学习过程的直观性，便于学生在直观的学习过程中有所感悟。为了达到这个教学效果，教师在教学中可以采用多元表征的教学方式，把数概念和直观模型联系起来。

表征是认知心理学的重要概念，我国心理学家荆其诚先生认为表征是信息在心理活动中的呈现和记载方式［2］12，所以表征也称心理表征（mental representation）。随着信息技术越来越广泛地应用于心理、教育等领域，表征的含义得到了扩展与丰富，此阶段的表征是指：当认知对象缺席时，可以用来代替认知对象的任何符号或符号集。而所谓的认知对象，既可以是外在客观世界的一个事物或事物的某一特性，也可以是人的内在的想象与认知。在数学学习中，既有内隐的心理层面的知识整合与建构，也有外显的能够呈现认知过程和认知结果的多样化的数学表达，这就是数学多元表征。目前研究的数学多元表征本质上是使用不同性质的外在表征形式替代数学学习对象，使思维过程可视化、显性化，使数学理解走向多角度多思维，促进内在表征（心理表征）的丰富、生动与深刻［2］13。美国数学教育心理学家莱什（Lesh）提出了概念的五种外在表征系统，即实物情境表征、教具模型表征、图形或图表表征、言语表征、书写符号表征［3］。笔者将该系统运用于数概念教学，构建了数概念教学的多元表征系统（如图1）。下面笔者以人教版数学二年级下册“1 000以内数的认识”教学为例，通过整合教材中的例2和例3，探讨在数概念教学中运用多元表征培养学生数感的教学策略。

图1 根据莱什的多元表征系统构建数概念的多元表征系统

一、教学准备

为了准确把握二年级学生学习“1 000以内数的认识”的现状及所存在的问题，笔者在课前准备阶段对部分刚刚学完本课的学生进行了调查，希望借此诊断教学中可能存在的问题。

（一）学情调查及结果分析

调查结果显示：二年级学生的思维形式已经开始从形象思维向抽象思维过渡，他们对于1 000以内数的组成和读、写是没有多大问题的，但是让他们说说1 000以内数的意义以及他们对1 000这个数的大小的感知，学生普遍存在感知困难。对于这个结果，笔者不免有些困惑：首先，学生学习1 000以内数的组成和读、写都不难，为什么唯独对1 000这个数的感知普遍薄弱呢？本课教学的难点究竟在哪里？学生的学习难点又在哪里呢？其次，在常规教学中，教师都会给学生提供教材上的点子图、小棒、计数器这些学习素材，为什么学生还是不能合理估数呢？常规教学中，教师已经给学生安排了摆一摆小棒、拨一拨计数器等动手操作活动，为什么学生还是说不出数的意义呢？

（二）问题成因分析

仔细回顾教师们的整个教学过程，笔者发现，导致出现以上问题的原因，可能来自两个方面。一方面，在本课教学中，有些教师将教材中的3个例题进行了整合教学，导致教学内容过多，学生感知数的时间过少，从而不利于学生数感的培养和发展。虽然人教版教材例2、例3中呈现了点子图、小棒、计数器、数轴等多元学习素材，但教师并没有对这些学习素材进行关联和优化，学生盲目地跟随教师的指令进行操作，却没有将直观操作与以抽象思维为特点的数概念关联起来，即外在表征与内在表征没有统一起来，从而导致学生没有真正理解数概念的本质，不能有效感知数的意义。也有一些教师过分关注“数的认识”的结果，认为学生知道数的组成和读、写就行了，因而没有给学生足够的时间去经历操作、体验，感知数的大小的过程，导致学生对“位值”的体验不够，从而无法形成对数位的深刻感悟。另一方面，有些教师没有通过创设适宜的数学问题情境，更没有搭建适合的学习支架把例2和例3有机地整合起来，导致学生没有经历整体感知知识间的联系的过程，因此对大数1 000的感知存在明显不足。

二、教学实施过程

为了避免出现以上问题，笔者经过反复研究，决定综合运用多元外在表征促进学生内在表征的丰富、生动与深刻，并为此构建了数概念教学“三部曲”（如图2），通过“一引”“二感”“三悟”促进学生对数概念的理解，发展学生感知数、估数的能力。其中的“情境引数”指的是创设生活情境，由实物引出数；
“活动感数”指的是让学生在数数活动中感知数的本质；
“生活悟数”则是让学生结合现实生活情境悟数，检验学习效果。下面笔者以“1 000以内数的认识”为例，探讨数概念教学“三部曲”的实践。

图2 数概念教学“三部曲”

（一）情境引数，建立数感

《2022年版数学课标》在第一学段教学提示中指出：数的认识教学应提供学生熟悉的情境，使学生感受具体情境中的数量［1］20。小学生的思维是直接建立在表象上的，学习的知识越接近学生熟悉的生活情境，学生越容易理解。受年龄的限制，低年级小学生的生活经验还不够丰富，因此在理解一些复杂、抽象的数学问题时会存在较大的困难，而实物和情境是他们认识数的一种直观的表征方式。实物情境表征指的是借助实物解释学习内容或问题情境的一种表征方式。教师可以在导入环节借助实物情境表征呈现学生所熟悉的实物，由实物引出数，帮助学生初步建立数感。

例如，在“1 000以内数的认识”的教学导入环节，笔者创设情境，用学生熟悉的糖果实物引出例2中的百位数235，开启了这节新授课。

师：同学们，6月有一个属于你们的节日，知不知道？（齐答“知道”）没错，“六一”儿童节。儿童节就要到了，老师给同学们准备了一些小礼物，请看！（教师从袋子里抓出一把实物糖果）你能估一估它们大约有多少颗吗？不好估？那老师把糖果平铺开来。（教师用课件出示糖果图，如图3。）现在请你估一估这里大约有多少颗糖果吧。还不好估？那老师再给出一个标准量“100”（圈出一部分糖果），请大家再估一估。

图3 糖果估算实物情境图

糖果是多数小学生喜欢的食物。这样的实物情境表征，不仅调动了学生学习的兴趣，而且让学生感受到了数学来源于生活，可以在抛开现实情境中的实物的物理属性之后抽象出数，感受到大数的引入也是源于“用数学的语言表达现实世界”的需要。这样的实物情境表征在其他数概念教学中同样适用，如“认识分数”可由蛋糕、月饼的切分引出分数、“认识百分数”可由不同甜度的糖水引出百分数。诸如此类的实物情境表征，旨在给学生提供充分的可感知的现实生活情境，使学生可以将数概念与它们所表示的实际含义建立起联系，从而逐渐发展学生的数感和估算能力。

（二）活动感数，发展数感

著名数学家波利亚说：学习任何知识的最佳途径是自己去发现，因为这种发现理解最深，也最容易掌握其中的规律、性质和联系。低年级学生认识数的学习过程少不了数数。因此，执教“1 000以内数的认识”一课，可以设计多层次、多角度、多维度的数数活动，让学生去认识数的组成，学会读、写数，从而逐渐加深对“1 000”这个数的认识，发展对大数的数感。

1.运用图形表征引出数数过程

图形表征是借助图形的几何直观或者建立表象对概念进行表征的一种表征方式。比如针对教材中的例2，笔者通过创设情境，用“235颗糖果”抽象出“235个点子”的点子图（如图4），经历由“散乱的实物”到“有结构的点子”的数学抽象过程，从实物情境表征过渡到图形表征，由具体到半抽象，让学生经历数学思维结构化、数学表达图形化的过程；
接着让学生通过操作活动，学会用计数单位“一”“十”“百”去圈画点子图（数数），发展“进率”概念，使学生对数的组成产生结构化的直观认识。

图4 将235颗糖果抽象为有结构的235个点子

在数数活动中，学生用言语表征经历用计数单位“一”“十”“百”数数的过程，体验引入较大的计数单位的必要性，感受几个百、几个十、几个一用加法组合起来表达一个三位数的数学表达方式。

如果把本课教学中的例2和例3整合在一起进行教学，可以整体优化课堂教学。图形表征“点子图”具有直观、可视的作用，是认识自然数的有效工具；
数轴这一图形表征则是“数”与“形”的完美结合，是认识自然数、小数、分数的直观工具，借助数轴认识数，很容易发现数字系统的内部结构，这对学生数概念的最终形成有很大帮助，有助于全面发展学生的数感。因此，在本课教学中，教师可以继续呈现更多的点子（如1 000个），利用彩点点子图与数轴结合推进图形表征教学，让学生仔细、认真地观察彩点点子图并数数，在观察和数数的活动中感悟1 000这个数究竟有多大。

师：刚才我们一起研究了235这个数，同学们对百位数有了自己的认识。敢不敢挑战更难的任务？（齐答“敢”）其实老师准备的糖果不止235颗。这一次，老师用彩点代替了糖果，有这么多（课件呈现彩点点子图，如图5上）。你能用最快的方法数出这么多的彩点究竟有多少个吗？这一次，老师还请来了数轴帮助大家（呈现数轴图，如图5下）。这个彩点点子图与数轴图同样出现在了你们的学习单上，请拿出你们的学习单数一数吧。

本环节笔者再次让学生经历了由图形表征向语言表征转换的过程，从图形中逐步抽象出1 000这个数和计数单位“千”“百”“十”，使学生认识到了用数轴表示数的新方法及其便捷性，体会到了数序的概念。学生从不同角度去认识1 000这个数，有了自己的发现，如1 000里有100个10、100和900合起来是1 000等，并在观察和数数的过程中进一步发展了对1 000这个大数的数感。之后教师联系例2，让学生在数轴上找一找235这个数，学生在这次找数活动中对数轴有了更丰富的认识，逐渐熟悉了数轴中的数序。

由此可见，图形表征在数概念教学中发挥了直观化的作用，方便学生通过观察图形建立数的表象，理解知识点之间的联系。

2.运用教具模型表征理解数的本质

教具模型表征指的是显示数学学习对象的内在关系的具体物。学生在认数时离不开直观模型，这与小学生形象思维的特点是分不开的。“形”作为学习内容的载体，能将抽象的数形象化，帮助学生较好地理解数的意义、培养数感、掌握读写数的方法，使学生可以通过操作具体物的学习材料内化概念，进而理解数的本质。

例如，在理解235这个数的组成时，笔者对各版本的小学数学教材进行了分析，为学生精心准备了丰富多样的操作材料：除了人教版教材中出现的直观、结构化的小棒和计数器，还有计数小方块以及学生熟悉的人民币。学生在小组合作交流的活动中，通过操作多元化的教具模型，尝试从数概念的各个方面认识数，体会到了表示数的多种方式（如图6）。接着笔者提出了下面的核心问题，促进学生对数的本质的理解：“为什么你们选用的学具不一样，却都能表示235呢？”最后笔者让学生对照计数器上的数位写出和读出数。在这个教学环节，笔者从问题出发，利用操作表征、语言表征、符号表征间的转换，引导学生从直观到抽象，既建立了“位值”概念，深入了解了数的组成，体现了读、写数的必要性，又理顺了相关知识间的联系。

图6 学生对235这个数的多元化教具模型表征

由此可见，在数概念教学中，教师应想办法给学生提供丰富的素材满足学生不同的学习需求，使学生在操作活动中感受数的本质、理解数的意义。以上探究教学，笔者不仅注重多元表征的呈现，而且善于在教学中运用多元表征间的转换、互译，设计可以充分调动学生多种感官的学习活动，帮助学生积累数学活动经验，让学生经历从具体到半抽象再到抽象的思维发展过程，从而逐渐深刻地理解数的意义，发展对1 000这个大数的数感。

（三）生活悟数，提升数感

数学概念的教学既要引导学生由具体到抽象，形成有关的数学概念，又要让学生由抽象到具体，学会运用数学概念［4］，即用语言表征去表达现实世界。数来自生活并用于生活。为进一步强化学生的数感，在本课的最后环节，笔者选择了生活中的一些常见物品（1 000张纸，1 000个人，1 000颗黄豆），让学生多角度感受1 000有多大，如：估一估1 000张A4纸的厚度；
问一个班大约50人，多少个班的人数大约是1 000人；
一把黄豆有100颗，估一估，1 000颗黄豆可以装到瓶子的哪个位置。

在这个环节，当老师问到1 000颗黄豆可以装到瓶子的哪个位置时，学生积极回答：100颗黄豆在这里（手势表示），因为1 000里有10个100，接着学生用手一百一百地进行比画，大概比画到了瓶子中间的位置就是1 000。学生通过实物、言语等多元表征，进行数与数的参照、量与量的对比，用重量、厚度、空间感将1 000这个抽象的数字还原到物体的数量上，变得形象直观“看得见”，从而建立起对1 000这个数的具体、形象、丰富的认识。教师在教学活动中，以学生为主体，充分发挥学生的主观能动性，引导学生进行估算，不断增强学生的估算意识，使学生对1 000这个数有了更深的感悟。由此可见，在数概念教学中，教师应重视生活悟数这个教学环节，运用多元表征引导学生学会用数概念表达现实生活的意义，实现对数概念的深度理解，从而提升学生的数感。

综上所述，笔者借助数概念教学“三部曲”之“情境引数，建立数感”“活动感数，发展数感”“生活悟数，提升数感”，运用多元表征优化课堂教学，帮助学生建立知识之间的联系，从多层次、多角度、多维度实现了数的意义建构，同时达成了培养学生数感的目的。

参考文献

［1］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］程红霞.以多元表征学习深化学生的数学理解［J］.小学数学教师，2021（10）.

［3］赵春香.优化表征呈现 助力概念教学［J］.小学数学教育，2023（22）：25-26.

［4］倪芳华.在多元表征中深化数学概念理解［J］.教育界，2018（4）：115-117.

（责编 白聪敏）

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