张蓓 周家本 姜付锦
摘 要:本文对《物理教师》中两篇论文进行深入分析与理论计算,发现:文献[1]中滑块不可能在脱离轨道后,在轨道最低点与轨道发生弹性碰撞反弹到轨道的左边,继续在轨道上运动;
文献[2]中结果存在错误,通过分析与对比给出了正确的答案,完善了小球脱离椭圆面的分析结果.
关键词:光滑轨道;
脱离;
椭圆面;
卡尔丹公式
中图分类号:G632 文献标识码:A 文章编号:1008-0333(2024)13-0114-03
《物理教师》中有两篇关于物体运动过程中脱离轨道试题的论文,但是笔者通过严格的推导与分析,发现这两篇论文结论有待商榷,以下为分析过程,请各位同仁批评指正.
1 问题一[1]
如图1所示,装置由一理想弹簧发射器及两个轨道组成.其中轨道Ⅰ由光滑轨道AB与粗糙直轨道BC平滑连接,高度差分别是h1=0.2 m、h2=0.10 m,BC水平距离L=1.00 m.轨道Ⅱ由AE、螺旋圆形EFG和GB三段光滑轨道平滑连接而成,且A点与F点等高.当弹簧压缩量为d时,恰能使质量m=0.05 kg的滑块沿轨道Ⅰ上升到B点;
当弹簧压缩量为2d时,恰能使滑块沿轨道Ⅰ上升到C点.(已知弹簧弹性势能与压缩量的平方成正比)
(1)当弹簧压缩量为d时,求弹簧的弹性势能及滑块离开弹簧瞬间的速度大小;
(2)求滑块与轨道BC间的动摩擦因数;
(3)当弹簧压缩量为d时,若沿轨道Ⅱ运动,滑块能否上升到B点?请通过计算说明理由
参考文献[1]中对第(3)问提出疑问,认为滑块可能与轨道最低点发生弹性碰撞,最后通过反弹到达轨道的左边,继续进行圆周运动,具体情况如下图2、3、4所示:
若只从定性角度来分析,图2中滑块在P点脱离圆轨道做斜抛运动,可能落在轨道最低点O,同理图3、图4中均有可能,但是真实情况到底是怎样的?笔者以为只能通过定量计算来证明.
1.1 理论依据(以图2为例)
设轨道半径为r,脱离点为P,P点的速度为v,连接O′P与水平面的夹角为θ,由机械能守恒定律得
E弹+mgr1-sinθ=12mv①
脱离点恰好无弹力,由向心力公式得
mgsinθ=mvr②
从脱离时开始计时,经过时间t,滑块的坐标为
x=rcosθ-vtsinθ③
y=r+rsinθ+vtcosθ-12gt④
因为抛物线经过原点,所以有
x=y=0⑤
E弹=mgh1⑥
联立①-⑥式整理成以下四个方程
由?式求得
sinθ=-1或sinθ=12?
若sinθ=-1,则r=-25h1,v=±g,t=0?若sinθ=12,
则r=-4h1,v=±-2g,t=±-24h1g?
由??两式可知,这些解没有物理意义,故滑块不会落在圆轨道低点.
1.2 数值模拟计算
笔者尝试用MathCAD来分析,设sinθ=x,则解方程组如图5所示.
gh1+gr-rsinθ=v2⑦
grsinθ=v⑧
rcosθ=vt·sinθ⑨
r+rsinθ+vtcosθ=g2t⑩
联立⑦⑧两式得
h1+r=32rsinθ?
联立⑧⑨⑩三式得
r1+sinθ=gt(12-sinθ)?联立⑧⑨两式得
t=r(1-sinθ)gsin3θ?
联立??两式得
sinθ+12sinθ-12=0?
上行右边每一行为一组解,共6组解,每一行从左向右依次为v,sinθ,r,t的解,可以发现没有一组有物理意义的解,这与??两式的解吻合,所以参考文献[1]中假设2不成立,即小球不可能斜抛后落在最轨道的最低点.
2 问题二
如下图6所示,已知椭圆的方程为x2a2+y2b2=1,设小球在A点脱离光滑椭圆面,求小球脱离光滑椭圆面时位置?
2.1 参考文献[2]中的分析
椭圆的参数方程为
x=acosθ,y=bsinθ?分别对x与y关于θ求一阶、二阶导数,得
x′θ=-asinθ,x″θ=-acosθ?
y′θ=bcosθ,y″θ=-bsinθ?
那么,y关于x的一阶导数为
图6 小球在椭圆上运动
y′x=y′θx′θ=-bcosθasinθ?
A点的曲率半径为
ρ=[x′θ+y′θ]3/y″θx′θ-x″θy′θ
=[asinθ+bcosθ]3/ab?
又tanα=y′x=-bcosθasinθ,则?
cosα=asinθ[asinθ+bcosθ]/?
从最高点到A点机械能守恒,有
mgb-y=12mv?
在A点脱离的条件为
mgcosα=mvρ?
联立B22B24B25?四式得
sinθ3+3b2a2-b2sinθ-2b2a2-b2=0?原文给出的解析解为
sinθ=3b2a2-b2[31+a2-2b2a2-b2+31-a2-2b2a2-b2]?
即初速度为零的小球不可能一直沿光滑椭圆面运动下去,且将在以上确定位置脱离椭圆面[2].
2.2笔者的分析
若曲面是光滑椭圆面,则参考文献[1]中的一元三次方程如下:
sinθ3+3b2a2-b2sinθ-2b2a2-b2=0?
其判别式
Δ=q2+p33=b2a2-b2+b2a2-b3?所以有一个实根和两个复根,由卡尔丹公式得此实根为
sinθ=3-q2+Δ+3-q2-Δ?
进一步化简后得
sinθ=3b2a2-b2[31+a2a2-b2
+31-a2a2-b2]?
参考文献[1]中的分析错在判别式应该是Δ=q2+p33=b2a2-b2+b2a2-b3,而不是Δ=q2+p33=b2a2-b2-b2a2-b3,故参考文献[1]中的解析有错误.
若椭圆长短轴互换,即a、b互换,式B32形式不变. 2.3 另一种分析方法
如下图7所示,设小球从最高点y0=b静止出发,求得[2]
图7 小球在椭圆上运动位置图
y′=-b2xa2y,fx=b-y1+b2xa2y=ay(b-y)b4+(a2-b2)y2(40)
由于f′(x)=0,得到
ky=a2-b2y3+3b4y-2b5=0(41)
由于k0=-2b5<0,kb=a2b3>0,所以在[0,b]上y必然有实解,即存在脱离点.
因为k0=0,所以其可化为三次方程标准形式:
y3+3b4a2-b2y-2b5a2-b2=0(42)
其判别式
Δ=q2+p33=b5a2-b2+b4a2-b3(43)
有一个实根和两个复根,由卡尔丹公式得此实根为:
y=3-q2+Δ+3-q2-Δ(44)
进一步化简后得,
y=3b5a2-b2+b5a2-b2+b4a2-b3+3b5a2-b2-b5a2-b2+b4a2-b3(45)
因为y=bsinθ,求得
sinθ=3b2a2-b2[31++31-](46)
与式(39)是吻合,故参考文献[1]中的解析解有错误.
3 结束语
综上所述,可以发现参考文献[1]中的方程组没有实数解,所以原文中假设2不成立,滑块不可能斜抛后落在最轨道的最低点O;
高考题所给的解析没有问题,若R≤0.4 m,滑块可以通过最高点达到B点,若R>0.4 m,滑块不能通过最高点达到B点,高考题参考答案正确!通过以上分析不难发现:牛顿运动定律是一种因果律,受力是原因,运动是结果.一个物体受什么样的力就有什么样的运动,反过来物体有什么样的运动,就需要受什么样的力,这二者之间紧密联系在一起.当我们对某个分析产生疑问时,可以从正反两个方向去推理认证,若正反两个方面吻合,则说明分析没有问题,否则分析就有问题;
参考文献[2]小球在光滑椭圆面由静止开始下滑,当小球运动椭圆面上某一位置会脱离椭圆面,这个位置的解要用到一元三次方程的根——卡尔丹公式,原文中的参考答案有误.
参考文献:
[1] 王金聚.对2016年浙江省小高考物理选考卷第20题的商榷[J].物理教师,2016(8):88-89.
[2] 陈科.小球能一直沿光滑曲面运动下去吗?[J].物理教师 2015(7):62,64.
[责任编辑:李 璟]
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