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两道物体脱离轨道试题研究

来源:专题范文 时间:2024-11-05 17:57:01

张蓓 周家本 姜付锦

摘 要:本文对《物理教师》中两篇论文进行深入分析与理论计算,发现:文献[1]中滑块不可能在脱离轨道后,在轨道最低点与轨道发生弹性碰撞反弹到轨道的左边,继续在轨道上运动;
文献[2]中结果存在错误,通过分析与对比给出了正确的答案,完善了小球脱离椭圆面的分析结果.

关键词:光滑轨道;
脱离;
椭圆面;
卡尔丹公式

中图分类号:G632   文献标识码:A   文章编号:1008-0333(2024)13-0114-03

《物理教师》中有两篇关于物体运动过程中脱离轨道试题的论文,但是笔者通过严格的推导与分析,发现这两篇论文结论有待商榷,以下为分析过程,请各位同仁批评指正.

1 问题一[1]

如图1所示,装置由一理想弹簧发射器及两个轨道组成.其中轨道Ⅰ由光滑轨道AB与粗糙直轨道BC平滑连接,高度差分别是h1=0.2 m、h2=0.10 m,BC水平距离L=1.00 m.轨道Ⅱ由AE、螺旋圆形EFG和GB三段光滑轨道平滑连接而成,且A点与F点等高.当弹簧压缩量为d时,恰能使质量m=0.05 kg的滑块沿轨道Ⅰ上升到B点;
当弹簧压缩量为2d时,恰能使滑块沿轨道Ⅰ上升到C点.(已知弹簧弹性势能与压缩量的平方成正比)

(1)当弹簧压缩量为d时,求弹簧的弹性势能及滑块离开弹簧瞬间的速度大小;

(2)求滑块与轨道BC间的动摩擦因数;

(3)当弹簧压缩量为d时,若沿轨道Ⅱ运动,滑块能否上升到B点?请通过计算说明理由

参考文献[1]中对第(3)问提出疑问,认为滑块可能与轨道最低点发生弹性碰撞,最后通过反弹到达轨道的左边,继续进行圆周运动,具体情况如下图2、3、4所示:

若只从定性角度来分析,图2中滑块在P点脱离圆轨道做斜抛运动,可能落在轨道最低点O,同理图3、图4中均有可能,但是真实情况到底是怎样的?笔者以为只能通过定量计算来证明.

1.1 理论依据(以图2为例)

设轨道半径为r,脱离点为P,P点的速度为v,连接O′P与水平面的夹角为θ,由机械能守恒定律得

E弹+mgr1-sinθ=12mv①

脱离点恰好无弹力,由向心力公式得

mgsinθ=mvr②

从脱离时开始计时,经过时间t,滑块的坐标为

x=rcosθ-vtsinθ③

y=r+rsinθ+vtcosθ-12gt④

因为抛物线经过原点,所以有

x=y=0⑤

E弹=mgh1⑥

联立①-⑥式整理成以下四个方程

由?式求得

sinθ=-1或sinθ=12?

若sinθ=-1,则r=-25h1,v=±g,t=0?若sinθ=12,

则r=-4h1,v=±-2g,t=±-24h1g?

由??两式可知,这些解没有物理意义,故滑块不会落在圆轨道低点.

1.2 数值模拟计算

笔者尝试用MathCAD来分析,设sinθ=x,则解方程组如图5所示.

gh1+gr-rsinθ=v2⑦

grsinθ=v⑧

rcosθ=vt·sinθ⑨

r+rsinθ+vtcosθ=g2t⑩

联立⑦⑧两式得

h1+r=32rsinθ?

联立⑧⑨⑩三式得

r1+sinθ=gt(12-sinθ)?联立⑧⑨两式得

t=r(1-sinθ)gsin3θ?

联立??两式得

sinθ+12sinθ-12=0?

上行右边每一行为一组解,共6组解,每一行从左向右依次为v,sinθ,r,t的解,可以发现没有一组有物理意义的解,这与??两式的解吻合,所以参考文献[1]中假设2不成立,即小球不可能斜抛后落在最轨道的最低点.

2 问题二

如下图6所示,已知椭圆的方程为x2a2+y2b2=1,设小球在A点脱离光滑椭圆面,求小球脱离光滑椭圆面时位置?

2.1 参考文献[2]中的分析

椭圆的参数方程为

x=acosθ,y=bsinθ?分别对x与y关于θ求一阶、二阶导数,得

x′θ=-asinθ,x″θ=-acosθ?

y′θ=bcosθ,y″θ=-bsinθ?

那么,y关于x的一阶导数为

图6 小球在椭圆上运动

y′x=y′θx′θ=-bcosθasinθ?

A点的曲率半径为

ρ=[x′θ+y′θ]3/y″θx′θ-x″θy′θ

=[asinθ+bcosθ]3/ab?

又tanα=y′x=-bcosθasinθ,则?

cosα=asinθ[asinθ+bcosθ]/?

从最高点到A点机械能守恒,有

mgb-y=12mv?

在A点脱离的条件为

mgcosα=mvρ?

联立B22B24B25?四式得

sinθ3+3b2a2-b2sinθ-2b2a2-b2=0?原文给出的解析解为

sinθ=3b2a2-b2[31+a2-2b2a2-b2+31-a2-2b2a2-b2]?

即初速度为零的小球不可能一直沿光滑椭圆面运动下去,且将在以上确定位置脱离椭圆面[2].

2.2笔者的分析

若曲面是光滑椭圆面,则参考文献[1]中的一元三次方程如下:

sinθ3+3b2a2-b2sinθ-2b2a2-b2=0?

其判别式

Δ=q2+p33=b2a2-b2+b2a2-b3?所以有一个实根和两个复根,由卡尔丹公式得此实根为

sinθ=3-q2+Δ+3-q2-Δ?

进一步化简后得

sinθ=3b2a2-b2[31+a2a2-b2

+31-a2a2-b2]?

参考文献[1]中的分析错在判别式应该是Δ=q2+p33=b2a2-b2+b2a2-b3,而不是Δ=q2+p33=b2a2-b2-b2a2-b3,故参考文献[1]中的解析有错误.

若椭圆长短轴互换,即a、b互换,式B32形式不变. 2.3 另一种分析方法

如下图7所示,设小球从最高点y0=b静止出发,求得[2]

图7 小球在椭圆上运动位置图

y′=-b2xa2y,fx=b-y1+b2xa2y=ay(b-y)b4+(a2-b2)y2(40)

由于f′(x)=0,得到

ky=a2-b2y3+3b4y-2b5=0(41)

由于k0=-2b5<0,kb=a2b3>0,所以在[0,b]上y必然有实解,即存在脱离点.

因为k0=0,所以其可化为三次方程标准形式:

y3+3b4a2-b2y-2b5a2-b2=0(42)

其判别式

Δ=q2+p33=b5a2-b2+b4a2-b3(43)

有一个实根和两个复根,由卡尔丹公式得此实根为:

y=3-q2+Δ+3-q2-Δ(44)

进一步化简后得,

y=3b5a2-b2+b5a2-b2+b4a2-b3+3b5a2-b2-b5a2-b2+b4a2-b3(45)

因为y=bsinθ,求得

sinθ=3b2a2-b2[31++31-](46)

与式(39)是吻合,故参考文献[1]中的解析解有错误.

3 结束语

综上所述,可以发现参考文献[1]中的方程组没有实数解,所以原文中假设2不成立,滑块不可能斜抛后落在最轨道的最低点O;
高考题所给的解析没有问题,若R≤0.4 m,滑块可以通过最高点达到B点,若R>0.4 m,滑块不能通过最高点达到B点,高考题参考答案正确!通过以上分析不难发现:牛顿运动定律是一种因果律,受力是原因,运动是结果.一个物体受什么样的力就有什么样的运动,反过来物体有什么样的运动,就需要受什么样的力,这二者之间紧密联系在一起.当我们对某个分析产生疑问时,可以从正反两个方向去推理认证,若正反两个方面吻合,则说明分析没有问题,否则分析就有问题;
参考文献[2]小球在光滑椭圆面由静止开始下滑,当小球运动椭圆面上某一位置会脱离椭圆面,这个位置的解要用到一元三次方程的根——卡尔丹公式,原文中的参考答案有误.

参考文献:

[1] 王金聚.对2016年浙江省小高考物理选考卷第20题的商榷[J].物理教师,2016(8):88-89.

[2] 陈科.小球能一直沿光滑曲面运动下去吗?[J].物理教师 2015(7):62,64.

[责任编辑:李 璟]

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