四参数二元Mc,Kay型伽马分布的几何性质

万文龙,罗洁,许皓

(西华师范大学数学与信息学院,四川 南充 637009)

信息几何是用微分流形或用黎曼流形来研究概率分布的学科,该学科的主要思想是亚马里(Amari)和永冈(Nagaoka)[1]提出的以费歇尔信息矩阵作为黎曼度量来建立黎曼流形,而概率分布的全体参数被视为该流形的坐标系统[2]。统计流形是信息几何的核心内容,被证明具有由费歇尔信息矩阵给出的唯一黎曼度量和对偶仿射联络。

伽马分布是统计学的连续概率函数[3],是概率统计中非常重要的分布,许多分布都直接或间接地与之相关。麦凯拉(Mc Kay)和斯科(SC)[4]提出了二元Mc Kay型伽马分布,本文基于四参数二元Mc Kay型伽马分布,在其尺度参数和形态参数的基础上增添了位置参数[5－22]。为了更好地研究四参数二元Mc Kay型伽马分布的实际应用和其他统计性质,本文尝试从信息几何的角度研究其几何性质。

本文计算了四参数二元Mc Kay型伽马流形的信息矩阵及其逆矩阵、克里斯托弗符号和黎曼曲率张量,并给出了子流形的黎曼几何结构等。

统计流形M＝的α－联络由下式给出:

其中g＝＜,＞是以ξ为局部坐标系的费歇尔信息矩阵,并且α－联络系数由下式给出:

当α＝0时,上式为黎曼联络系数。此外,统计流形的黎曼曲率张量由下式给出:

定义2.1 设(U;xi) 是M的一个局部坐标系,则其曲率张量的分量为:

Ricci曲率张量的分量为:

从而有数量曲率R为:

以及截面曲率K(u,v)为:

若二元变量(X,Y)服从四参数二元Mckay型伽马分布,其联合密度函数为:

其中,β≤x＜y,a＞0,p＞2,q＞0,β是位置参数,伽马函数为:

关于X和Y的边缘密度函数分别为:

X与Y的协方差与相关系数为:

相关系数ρ随p,q变化的图像如图1所示。

图1 相关系数随p 和q 的变化图

定理3.1 统计模型

是一个四维统计流形,称为四维二元Mc Kay型伽马流形,其自然坐标系为ξ＝(a,p,q,β)。

定理3.2 在自然坐标系ξ＝(a,p,q,β)下,四维二元Mc Kay型伽马流形的费歇尔信息矩阵G( ξ )为:

其中ψ(p)＝Γ′(p)/Γ(p) ,Γ′(p) 是伽马函数的导数。

证明根据其似然函数:

则有:

从而有:

证毕。

由上面结果可知费歇尔信息矩阵的行列式为:

其图像如图2所示,可以看到,随着p和q的增大,极速减小,其极限值为0。

图2 行列式随p 和q 的变化图

通过计算可以得到费歇尔信息矩阵G (ξ)的逆矩阵G－1(ξ) ,其分量如下:

由(1)式,四维二元Mc Kay型伽马流形的黎曼联络系数分别为:

其余未列出的分量为0。

定理3.3 在自然坐标系ξ＝(a,p,q,β)下,流形M的曲率张量的分量由下式给出:

4.1 子流形M 1 M:a＝1

在(3)式中,取a＝1,则有:

定理4.1在自然坐标系ξ＝(p,q,β)下,统计流形M1的费歇尔信息矩阵[gij]和它的逆矩阵[gij]分别如下:

定理4.2 在自然坐标系ξ＝(p,q,β)下,统计流形M1的黎曼联络系数分别为:

其余未列出的分量均为0。

4.2 子流形M 2 M:p ＝3

当p＝3时,统计模型

是一个三维流形,其自然坐标系为ξ＝(a,q,β)。

定理4.3 在自然坐标系ξ＝(a,q,β)下,统计流形M2的费歇尔信息矩阵[gij]和它的逆矩阵[gij]分别如下:

定理4.4 在自然坐标系ξ＝(a,q,β)下,统计流形M2的黎曼联络系数分别为:

4.3 子流形M 3 M:q＝1

当q＝1时,统计模型

是一个三维流形,其自然坐标系为ξ＝(a,p,β)。

定理4.5 在自然坐标系ξ＝(a,p,β)下,M3的费歇尔信息矩阵[gij]和它的逆矩阵[gij]如下:

定理4.6 在自然坐标系ξ＝(a,p,β)下,M3的克里斯托费尔符号如下:

4.4 子流形M 4 M:β＝0

当β＝0时,统计模型

是一个三维流形,其自然坐标系为ξ＝(a,p,q)。

定理4.7 在自然坐标系ξ＝(a,p,q)下,统计流形M4的费歇尔信息矩阵[gij]和它的逆矩阵[gij]如下:

定理4.8 在自然坐标系ξ＝(a,p,q)下,统计流形M4的黎曼联络系数分别为:

定理4.9 在自然坐标系ξ＝(a,p,q)下,统计流形M4的曲率张量分量为

本文给出了基于信息几何的四参数二元Mc Kay型伽马流形,并计算了相关几何结构,包括费歇尔信息度量、黎曼联络和曲率张量等。此外,本文还给出了四参数二元Mc Kay型伽马流形的四个子流形的相关几何结构。二元伽马分布在地震预测和水文学上有广泛的应用,通过对其几何结构的研究,可以在相关概率预测模型上做优化与改进。

猜你喜欢 黎曼流形伽马 宇宙中最剧烈的爆发：伽马暴军事文摘(2023年18期)2023-10-31基于车载伽马能谱仪的土壤放射性元素识别研究机械工业标准化与质量(2023年7期)2023-09-25非齐次二维Burgers方程的非自相似黎曼解的奇性结构数学物理学报(2022年4期)2022-08-22紧黎曼面上代数曲线的第二基本定理数学物理学报(2021年6期)2021-12-21紧流形上的SchrÖdinger算子的谱间隙估计数学物理学报(2020年2期)2020-06-02迷向表示分为6个不可约直和的旗流形上不变爱因斯坦度量数学年刊A辑(中文版)(2019年3期)2019-10-08Nearly Kaehler流形S3×S3上的切触拉格朗日子流形数学物理学报(2019年1期)2019-03-21数学奇才黎曼少儿科技(2019年4期)2019-01-19非等熵 Chaplygin气体极限黎曼解关于扰动的依赖性数学年刊A辑(中文版)(2018年2期)2019-01-08Understanding Gamma 充分理解伽马家庭影院技术(2018年8期)2018-08-21