四阶椭圆型方程弱解的存在性

刘思童，梁 波,2

（1.大连交通大学理学院，辽宁，大连 116028；
2.滁州学院数学与金融学院，安徽，滁州 239000）

二十世纪六十年代，偏微分方程开始迅速发展起来。到了二十一世纪，偏微分方程已经发展成了一个具有丰富理论的学科，往往以生物科学、物理学以及现实生活中的实际问题为研究背景，建构起自然科学领域与科学技术领域的桥梁，它是自然与科学的中间媒介。椭圆型方程是偏微分方程领域的重要分支，关于椭圆型偏微分方程弱解的存在性、唯一性、多解性、边值问题、爆破及长时间行为等为学者们提供了许多研究课题。因此，国内外的学者对偏微分方程领域中的椭圆型方程的研究非常感兴趣[1-9]。

文献[10-11]利用Lax-Milgram 定理及变分方法对二阶椭圆型方程弱解的存在性进行讨论。Lax-Milgram 定理推广了Riesz 表示定理中的内积满足的条件，该拓展在偏微分方程的研究中得到了广泛应用。李家萌等[12]主要运用山路引理及临界点理论对四阶椭圆型方程非平凡解的存在性进行研究。陆海霞[13]通过全局分歧理论，得到椭圆型偏微分方程边值问题至少有一个正解存在。文献[14]主要应用Nehari 流形证明出具有变号权函数的四阶椭圆型方程至少存在两个非平凡弱解。文献[15]对四阶椭圆型方程在多连通域上的边值问题进行研究。张姊同等[16]采用多项式特解作为基函数对高阶椭圆型方程求解。李娜，赵娜[17]对有限元法求解椭圆型方程数值解进行了可行性分析。蒲洋[18]主要利用变分方法找出一类带Sobolev 临界指数的Kirchhoff 型四阶椭圆型方程的一个非平凡解。郝江浩，张亚静[19]应用Hopf 极值原理，研究了一类四阶椭圆型方程的边值问题，证明出了解的泛函极值原理的同时证明了解在一些边界条件下恒为零。文献[20-25]是对Hardy 型的四阶椭圆型和Kirchhoff 型方程多解性的研究。

由于不同方法在解决不同椭圆型方程时都有各自的适用性，因此本法讨论两类问题，将Lax-Milgram 定理和变分法做对比。首先由于方程（1.1）含有一阶项，不能使用变分法来解决，因此本应用Lax-Milgram 定理讨论问题（1.1）。而方程（2.1）由于含有p次二阶项不能够使用Lax-Milgram 定理来解决，因此本法采用变分法来解决方程（2.1）。

本研究第二节基于文献[1]中的一般散度型线性椭圆方程（0.1）利用Lax-Milgram 定理对一类四阶椭圆型方程的弱解进行研究。

如下为一般散度型线性椭圆方程，

本研究第三节基于文献[1]中对二阶椭圆型方程的解决方法，主要运用变分法将一类二阶项为P次的四阶椭圆型方程（2.1）弱解的存在性问题转化为研究某个泛函在某一特定条件下的极值问题。

本结构如下：第二部分利用Lax-Milgram 定理解决问题（1.1），第三部分利用变分法解决问题（2.1），第四部分给出本文结论。

本节第一部分给出Lax-Milgram 定理的内容，第二部分给出方程（1.1）弱解的定义，第三部分证明方程（1.1）弱解的存在性。

本节讨论问题如下：

因此，a(u, )η是有界的。

其次，利用一致椭圆性条件和Cauchy 不等式，来证明a(u, )η的强制性：题(1.1)的唯一弱，定理1.1 得证。

下一部分利用变分法来解决另一类四阶椭圆型方程弱解的存在性及唯一性。

本节第一部分首先给出方程(2.1)的弱解形式，第二部分讨论该方程弱解的存在性，第三部分讨论该方程弱解的唯一性。

本节讨论问题如下

2.1 方程弱解的存在性

即u为方程(2.1)的弱解，命题2.1 得证。

2.2 泛函极值元的存在性

证明 由Lp范数以及L2范数的弱下半连续性，有

引理2.3 即证。

2.3 弱解的存在唯一性

定理2.1 对任何f∈LP（ Ω ），方程（2.1）恒存在唯一的弱解。

易知上式等号左端三项均为非负项，因此u= 0几乎处处于Ω。因此方程（2.1）恒存在唯一的弱解。

综上所述，存在唯一弱解u满足四阶椭圆型方程（2.1）。

椭圆型偏微分方程在几何学、电磁学、环境科学、流体力学、弹力学等领域都有相关的数学模型，对人们的生产生活有着重要意义。目前，国内外学者对椭圆型方程的研究十分活跃。本研究了两类椭圆型偏微分方程弱解的存在性、唯一性等问题。本研究的第一部分运用了Lax-Milgram定理，对一类四阶椭圆型方程的弱解问题进行了研究，主要证明出Hilbert 空间H2上的双线性型a（u,v）是有界的、强制的，使其与H2上任一有界线性泛函F（v）相等。

本研究的第二部分，运用了变分法求解一类二阶项为p次的四阶椭圆型方程。变分法求解椭圆型方程的关键就是要找出与四阶椭圆方程相对应的泛函，将椭圆型方程问题转化为求泛函的极值元问题，也就是使这一泛函取极值元的函数。下一步需要通过一系列定理来证明泛函极值元的存在性，最后证明该方程弱解的唯一性，即可证明出四阶椭圆型方程弱解。以本研究的思路，运用Lax-Milgram 定理及变分法也可用于解决其他阶数更高，形式更为复杂的椭圆型方程。

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