边坡可靠度理论分析方法研究综述

王文法 李智 楚泽元 肖克锋

摘要：自然界中边坡土体的强度参数普遍存在随机性和离散性，因此应用可靠度理论来分析边坡的稳定性性成为岩土工程领域的一大热门，如何准确地量化分析边坡的可靠度指标和失效概率具有重要意义。基于国内外多位学者在边坡可靠度理论方面的研究成果，系统地总结了可靠度指标和失效概率的求解方法，并就边坡可靠度理论的发展方向提出了新的看法。

关键词：边坡稳定性；

可靠度理论；

失效概率；

代理模型

中图分类号：TU43文献标志码：A

0引言

边坡是指自然或人工形成的斜坡，是人类工程活动中最基本的地质环境之一，也是工程建设中最常见的工程形式［1］。传统的边坡确定性分析往往针对单一均质土体，而忽略了土体自身参数的随机性和和离散性。经常出现安全系数小于1的边坡未发生破坏，安全系数大于1的边坡却失稳的情况。对于这些案例，确定性分析得到的结果与之不符，但从可靠度理论中计算得到的失效概率和可靠度指标来阐述，就解释的通了。失效概率和可靠度指标的准确性直接决定了边坡可靠性分析结果的合理与否。本研究深入分析了边坡可靠度理论的原理，并对可靠性求解方法进行了详细分类和阐述。

1边坡可靠度理论原理概述

边坡可靠度理论考虑了边坡土体参数的不确定性，通过分析失效概率和可靠度指标来判断边坡的稳定性，从而取代了传统边坡稳定性分析中以安全系数和稳定性系数来推断边坡稳定与否的行业规范。对比传统的研究思路，边坡可靠度理论更加贴合边坡的实际情况，获得的可靠性分析结果也相对合理。但需要注意的是，确定性分析是可靠性分析的基础。Wu和Kraft［2］（1970年）首次在边坡稳定分析中引入建立在不确定性基础上的统计方法和概率理论，边坡工程开始接受不确定性的概念，并从可靠性角度评价边坡的稳定性。

失效概率和可靠度指标是边坡可靠度理论分析的重要手段，将详细对可靠性求解方法进行分类和总结。

2边坡可靠性求解方法

2.1直接求解法

对于较为简单的边坡极限状态方程，一般采用直接求解失效概率Pf和可靠度指标β的方法。

2.1.1失效概率Pf

失效概率Pf是可靠性分析中最常用一种评判标准，通常指边坡发生失稳破坏的概率其物理意义是样本空间中发生破坏的样本数量占总样本数量的百分比，由式（1）计算可得。

Pf=N/N（1）

式中：N*是样本中边坡发生破坏数量；

N为样本总数。

在边坡工程中经常通过分析失效概率Pf来评价边坡的稳定可靠性。直接求解失效概率Pf的方法主要有蒙特卡洛法、重要性抽样法和拉丁超立方抽样法。蒙特卡洛模拟法（MCS）以概率论和数理统计理论为基础，通过随机模拟和统计试验来求解结构可靠性的近似数值方法。朱瑜劼等［3］針对岩性复杂的三峡库区泄滩边坡，采用不同随机分布的岩体参数来自动搜索滑动面，通过蒙特卡洛法计算其失效概率Pf。重要性抽样法（IS）是基于蒙特卡洛法的一种改进方法，其思路是修改原有的概率分布，增加对模拟结果有重要贡献部分的抽样频率，提高效率，减少模拟的时间的作用。Zhao等［4］使用重要性抽样法对土质边坡进行了系统可靠性分析。拉丁超立方抽样法（LHS）根据样本数量N将抽样区间等分为N个互不重合的子区间，然后进行等概率的独立抽样，可以避免大量反复的抽样工作，有效地提高计算效率。孙开畅等［5］采用基于拉丁超立方抽样法和响应面法数据表，提出了具有计算量小效率高等优势的边坡可靠度计算模型。

2.1.2可靠度指标β

不同于失效概率，可靠度指标β与边坡稳定呈正相关，可以解释为在标准正态空间中，坐标原点到极限状态方程曲线的最短距离，如图1所示。

对于可靠度指标β来说，主要的计算方法有一阶可靠度方法（FORM）、二阶可靠度方法（FORM）、验算点法（JC）等。

一阶可靠度方法（FORM）是基于一种广泛接受的可靠度指标 Hosofer-Lind指数，利用式（2）和相关计算参数，通过最简单的规划求解即可求出可靠度指标β。Low等［6］提出了一种基于excel的一阶可靠度算法，能够快捷、简便地实现可靠度指标β的计算。

β=minxi-μiσiT［R］-1xi-μiσi（2）

式中：xi为任意分布的随机变量，μi为均值，σi为标准差，R为相关矩阵。

二阶可靠度方法（SORM）是一阶可靠度方法（FORM）的进一步延伸，为了更准确地对非线性状态函数进行可靠度分析，人们产生了利用二次式来代替线性极限状态面近似失效面的想法，即在在非线性状态曲面极值点处展开 Taylor 级数取二次项。何婷婷等［7］提出了基于支持向量机（SVM）的边坡可靠度分析新算法，并结合二阶可靠度方法（SORM）提高了计算准确度。

验算点法（JC）考虑随机变量的实际分布，若是非正态分布，则将其当量正态化，并在验算点处进行迭代，计算可靠度指标β。苏永华等［8］基于上限分析构建边坡极限状态可靠度计算模型，利用验算点法（JC）计算出相应的可靠度指标β。

2.2代理模型法

上述直接求解方法在求解相对简单的边坡模型时有着非常优越的效果，但对于随机变量较多和模型构建相对复杂的边坡，尤其是边坡极限状态方程为高度非线性时，将会存在极大的困难。因此，通过构建表达式相对简单的代理模型来代替原有的边坡模型不失为一种良策。目前最常用的代理模型有随机响应面法（SRSM）和克里金（Kriging）模型。

随机响应面法（SRSM）是传统响应面法（RSM）的一种拓展，原理上都是把随机变量与边坡模型响应值之间的关系通过构造函数表达出来，同时弥补传统响应面在非线性以及复杂问题方面的不足。随机响应面法（SRSM）一般采用可以使计算结果更容易收敛的Hermite多项式来构造响应面方程，见式（3）。随机响应面法（SRSM）通过以较少数量的边坡计算响应值构建表达式相对简单的随机响应面方程，极大提高了计算效率并为多种可靠性求解方法地应用提供了可能性。谭晓慧等［9］基于响应面法之不足，提出了改进的响应面法，并和一阶可靠度方法结合对边坡可靠度进行分析。朱彬等［10］提出了一种新型高斯过程响应面法（GPRSM），通过高斯过程回归算法构建随机变量与功能函数响应值之间的关系。

Z=a0+∑ni1=1ai1H1ξi1+∑ni1=1∑i1i2=1ai1i2H2ξi1，ξi2+∑ni1=1∑i1i2=1∑i2i3=1ai1i2i3H3ξi1，ξi2，ξi3+...（3）

式中：Z代表边坡模型响应值；
a0ai1ai1i2ai1i2i3...为需要求解的待定系数；
Hp（ξi1，ξi2，ξi3，...，ξip）为p阶Hermit插值多项式。

克里金（Kriging）模型是依据协方差函数对随机场进行空间建模和预测（插值）的回归算法，选取所有样本的一些最佳样本来代表整个样本空间，假设最佳样本值y（x）与随机变量x之间满足式（4）的多项式。克里金（Kriging）模型是一种半参数化模型，克服了非参数化模型处理高维数据存在的局限性，比参数化模型具有更强的预测能力。滕斌等［11］ 引入 Kriging 插值函数法，对高度非线性的边坡功能函数进行代理求解，解决了边坡稳定功能函数隐式特征这一特点。

工程结构王文法， 李智， 楚泽元， 等：
边坡可靠度理论分析方法研究综述

y（x）=f（x）Tδ+z（x）（4）

式中：δ为回归系数；
f（x）为回归模型；
z（x）为表示均值为0；
标准差为σ的统计过程。

3结论与展望

边坡可靠度理论的提出极大地推动了边坡可靠性分析地发展，为解决实际边坡工程稳定性问题开辟出了新的道路。本研究分析了边坡可靠度理论的原理，并对失效概率、可靠度指标和代理模型三种可靠性求解方法进行了详细的论述。最后就边坡可靠度理论的发展方向提出了展望：

（1）确定性分析是可靠性分析的基础，要继续优化边坡确定性分析的计算结果，进一步保证边坡可靠性分析的准确。

（2）抽样方法和抽样数量决定着可靠性计算的准确性，改进和创新抽样方法，是后续可靠度理论研究努力的方向。

（3）针对复杂的边坡极限状态方程，代理模型已经成为边坡可靠性分析一种主要手段，要做到最大程度上还原边坡实际模型，并同可靠性直接求解方法相结合。

参考文献

［1］朱大勇，姚兆明，徐士良，等.边坡工程［M］.武汉：武汉大学出版社，2014.

［2］Tien H. Wu Leland M. Kraft Jr. Closure to"Safety Analysis of Slopes" ［J］.Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering，1971，97（10）.

［3］朱瑜劼，劉晓丽，王恩志，等.基于蒙特卡洛法的三峡库区泄滩边坡稳定性风险评估［J］.水利水电技术（中英文），2018，49（12）：154-161.

［4］Zhao J， Duan XR， Ma LN et al. Importance sampling for system reliability analysis of soil slopes based on shear strength reduction［J］. Georisk-Assessment and Management of Risk for Engineered Systems and Geohazards， 2021， 15（4）：
287-298.

［5］孙开畅，尹志伟，李权，等.基于LHS抽样RSM数据表的边坡可靠度研究［J］.长江科学院院报，2018，35（2）：84-88.

［6］Low B K， Tang W H. Efficient spreadsheet algorithm for first-order reliability method［J］.JOURNAL OF ENGINEERING MECHANICS，2007，133（12）：1378-1387.

［7］何婷婷，尚岳全，吕庆，等.边坡可靠度分析的支持向量机法［J］.岩土力学，2013，34（11）：3269-3276.

［8］苏永华，李帅，方砚兵，等.基于上限分析的边坡稳定可靠性评估［J］.工程地质学报，2019，27（2）：451-458.

［9］谭晓慧，王建国，刘新荣.改进的响应面法及其在可靠度分析中的应用［J］.岩石力学与工程学报，2005，24（S2）：5874-5879.

［10］朱彬，裴华富，杨庆.基于高斯过程回归的响应面法及边坡可靠度分析［J］.岩土工程学报，2019，41（S1）：209-212.

［11］滕斌，陈浩.基于Kriging模型的土质边坡可靠度计算方法［J］.公路工程，2016，41（1）：143-146+156.

［作者简介］王文法（1997—），男，硕士，主要从事岩土工程极限分析理论研究；
李智（2000—），男，硕士，从事岩土工程边坡地基有限元分析理论方法研究；
楚泽元（1997—），男，硕士，从事城市地下交叠隧道动力响应分析；
肖克锋（1998—），男，硕士，从事岩土工程边坡可靠度随机场分析。

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