拟齐次核半离散Hilbert型逆向不等式的最佳搭配参数条件及算子表示

赵茜 洪勇

摘 要：利用权函数方法和实分析技巧，在lαp（N）和Lβp（0，+∞）中讨论拟齐次核的半离散Hilbert型不等式的逆向形式，得到逆向不等式具有最佳常数因子时的最佳搭配参数的充分必要条件，最后给出所得结果的等价算子表示和若干特例。

关键词：半离散Hilbert型逆向不等式；
拟齐次核；
最佳常数因子；
最佳搭配参数；
充分必要条件；
算子表示

中图分类号：O178

文献标志码：A

1908年Hilbert不等式［1］诞生以来，已经取得了许多的研究成果并在算子理论中得到广泛应用［2-10］，文献［11］首次探讨了齐次核Hilbert型不等式的搭配参数问题，得到最佳搭配参数的等价条件，之后讨论最佳搭配参数的文献不断出现［12-18］，取得了丰硕成果，但针对逆向Hilbert型不等式，相关的研究还不多，本文将讨论拟齐次核的半离散Hilbert型逆向不等式最佳搭配参数的充分必要条件。

1 预备知识

设r≠0，α∈R，Ν={1，2，…}，记

是以K（n，x）为核的半离散Hilbert型逆向不等式，M称为常数因子，而M0=sup{M}称为式（1）的最佳常数因子。

为避免重复，本文中，记

型Hlder逆向不等式

当且仅当an=C1（常数）和f（x）=C2（常数）时，式（2）取等号。

当且仅当an=C1常数时，式（3）取等号。

又根据积分型Hlder逆向不等式和式（3），有

根据式（3）和式（4）取等号的条件，可知当且仅当an=C1和f（x）=C2时，式（2）取等号。

证明 根据拟齐次核K（n.x）的性质，有

又因为K（t，1）t－aq在（0，+∞）上递减，故有

2最佳搭配参数的充分必要条件

其中，W0=|λ2|W1（－bp）=|λ1|W2（－aq）。

证明 （i）根据引理1及引理2，并p>0，q<0，有

故式（6）成立。

于是可知式（5）化为式（6），从而只需证明式（6）的常数因子最佳。

若式（6）的常数因子不是最佳的，则存在M0>0使

则有

于是

从而

于是式（5）可等价地写为

因为式（5）的常数因子是最佳的，故式（8）的常数因子也是最佳的，即式（8）的最佳常数因子是

因为式（8）的常数因子是最佳的，对比式（8）与式（9），有

从而W1（－b′p）<+∞，W2（－a′q）<+∞。

再根据前面充分性的证明，可知式（8）的最佳常数因子应为

于是

根据逆向的Hlder不等式，有

3 不等式的算子表示

设K（n，x）≥0，定义级数算子T1与积分算子T2：

根据Hilbert型不等式的基本理论，式（1）等价于算子不等式

于是根据定理1，可得如下的等价定理：

级数算子T1和积分算子T2分别由式（12）和式（13）定义，W1（－bp）<+∞，W2（－aq）<+∞，存在常数σ>0使W2（－aq－σ）<+∞。

其中，W0=|λ2|W1（－bp）=|λ1|W2（－aq）。

则有

且

综上并根据定理2，知推论1的结论成立。

推论3 设算子T1与T2分别为：

则有

参考文献：

[1]HARDY G H， LETTLEWOOD J E， POLYA G. Inequalities ［M］. Cambridge：
Cambridge University Press， 1934.

［2］ 洪勇. 關于零阶齐次核的Hardy-Hilbert型不等式［J］. 浙江大学学报（理学版）， 2013， 40（1）：
15-18.

［3］ KRNIC M， CAO M Z， PECARIC J. On the best constant in Hilberts inequality ［J］. J. Math. Ineq. Appl.， 2005， 8（2）：
317-329.

［4］ 杨必成. 一个推广的具有最佳常数因子的Hardy-Hilbert型积分不等式［J］. 数学年刊（A辑）， 2000， 21（4）：
401-408.

［5］ 洪勇， 孔荫莹. 含变量可转移函数核的Hilbert型级数不等式［J］. 数学物理学报（A辑）， 2014， 34（3）：
708-715.

［6］ 匡继昌． 常用不等式［M］． 济南：
山东科学技术出版社， 2004：
534-535．

［7］ 洪勇． 一类具有准齐次核的涉及多个函数的Hilbert型积分不等式［J］． 数学学报， 2014， 57（5）：
833-840.

［8］ YANG B C. On a extension of Hilberts integral inequality with some parameters ［J］. The Australian Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2004， 1（1）：
1-8.

［9］ KUANG J C. On new extensions of Hilberts integral inequality ［J］. Journal Mathematical Analysis and Applications， 1999， 235：
608-614.

［10］高明哲. 關于Hardy-Riesz拓广的Hilbert不等式的一个改进［J］. 数学研究与评论， 1994， 14（2）：
255-259.

［11］洪勇， 温雅敏. 齐次核的Hilbert型级数不等式取最佳常数因子的充要条件［J］. 数学年刊（A辑）， 2016， 37（3）：
329-336.

［12］洪勇， 吴春阳， 陈强. 一类非齐次核的最佳Hilbert型积分不等式的搭配参数条件［J］. 吉林大学学报（理学版）， 2021， 59（2）：
207-212.

［13］杨必成， 陈强. 一类非齐次核逆向的Hardy型积分不等式成立的条件［J］. 吉林大学学报（理学版）， 2017， 55（4）：
804-808.

［14］HE B， HONG Y， LI Z. Conditions for the validity of a class of optimal Hilbert type multiple integral inequalities with non-homogeneous kernels ［J］. Journal of Inequalities and Applications， 2021， 64（1）：
1-12.

［15］HONG Y， LIAO J Q， YANG B C. A class of Hilbert-type multiple Integral inequalities with the kernel of generalized homogeneous function and applications ［J］. J. Inequal. Appl.， 2020， 140（1）：
1-13.

［16］HONG Y， HUANG Q L， CHEN Q. The parameter conditions for the existence of the Hilbert-type multiple integral inequality and its best constant factor ［J］. Annals of Functional Analysis， 2021， 12（1）：
1-15.

［17］LIAO J Q， HONG Y， YANG B C. Equivalent conditions of a Hilbert-type multiple integral inequality holding ［J/OL］. Journal of Function Space， 2020（2020-04-15）[2023-03-27]. https：//www.hindawi.com/journals/jfs/2020/3050952/. DOI：10.1155/2020/3050952.

［18］RASSIAS M T， YANG B C. Equivalent propertise of a Hilbert-type integral inequality with the best constant factor related the Hurwitz Zeta function ［J］. Ann Funct Anal， 2018， 9（2）：
282-295.

Conditions for the Optimal Matching Parameters of

Quasi-Homogeneous Kernel Semi-Discrete Hilbert-Type

Inverse Inequalities and Operator Representations

Abstract：

Using the weight functions method and real analysis techniques ， the inverse form of the Hilbert-type inequality is discussed in the lαp（N） and Lβp（0，+∞）， sufficient necessary condition are obtained for the optimal matching parameters of the inverse inequality when it has optimal constant factors， and finally the equivalent operator representations and special cases are given.

Key words：

semi-discrete Hilbert-type inverse inequality; quasi-homogeneous kernel; the best constant factor; the optimal matching parameters; sufficient and necessary conditions; operator expression

猜你喜欢 级数等价常数 等价转化新高考·高三数学(2022年3期)2022-04-28关于Landau常数和Euler-Mascheroni常数的渐近展开式以及Stirling级数的系数数学年刊A辑(中文版)(2021年1期)2021-06-09Dirichlet级数及其Dirichlet-Hadamard乘积的增长性数学年刊A辑(中文版)(2018年1期)2019-01-08n次自然数幂和的一个等价无穷大中文信息(2017年12期)2018-01-27几个常数项级数的和山西大同大学学报(自然科学版)(2016年4期)2016-11-27万有引力常数的测量新高考·高一物理(2016年3期)2016-05-18p级数求和的两种方法山西大同大学学报(自然科学版)(2016年6期)2016-01-30收敛的非线性迭代数列xn+1=g(xn)的等价数列中央民族大学学报（自然科学版）(2015年2期)2015-06-09Dirichlet级数的Dirichlet-Hadamard乘积数学年刊A辑(中文版)(2014年2期)2014-10-30环Fpm+uFpm+…+uk-1Fpm上常循环码的等价性郑州大学学报（理学版）(2014年2期)2014-03-01