连续视场的多相机数字图像相关测量方法

戴云彤

（安徽建筑大学 土木工程学院，安徽 合肥 230601）

三维数字图像相关测量（Three-dimensional Digital Image Correlation，3D-DIC）方法依据双目立体视觉原理，利用两个相机从不同角度同步拍摄变形前后的被测物体表面，实现物体的三维形貌及变形的非接触、全场测量［1，2］。3D-DIC 方法在多领域三维变形测量中的发展已较为成熟［3，4］，通常从（1）算法方面：提高亚像素位移识别精度；
（2）硬件方面：提高相机信噪比，以减少噪声，从而获得更高的位移识别精度；
提高相机分辨率，以增大应变计算的标距，从而提高应变测量精度。然而，想要进一步从算法上提高亚像素位移识别精度是困难的；
选用更高信噪比和更高分辨率的相机都依赖于硬件的进步，这是一个漫长的过程。

目前，拓展应用范围和提高计算精度、效率是DIC 方法的两个主要发展方向。在利用3D-DIC方法测量大曲率或复杂表面时，尤其是圆柱构件，双相机的测量视场难以完整覆盖360°全周表面，无法实现全表面变形测量，且容易产生视觉盲点和散焦现象，导致测量精度大幅降低。为了解决这一问题，多相机三维数字图像相关测量（Multicamera Digital Image Correlation，MC-DIC）方法［5，6］应运而生，将3D-DIC 方法和多相机同步采集系统相结合，能够实现大曲率、复杂全表面的高精度三维变形测量。与此同时，利用3D-DIC 方法对大长细比物体进行变形测量时，为了使两个相机的视场完整且清晰地覆盖全表面，需要改变镜头配置或调节相机工作距离，必定会损失一个方向上的空间分辨率。MC-DIC 方法也可以解决此类问题，在充分利用相机空间分辨率的基础上，提高三维应变测量精度。除此之外，针对提高常规物体的变形测量精度，MC-DIC 方法不失为最直接的方法。它不依赖于单个相机分辨率的大幅提升，而是通过增加相机数目，有效提高相机空间分辨率，进而提高变形测量精度。

根据原理与应用范围的不同，MC-DIC 方法分为离散视场的MC-DIC 方法［7］和连续视场的MCDIC 方法［8，9］。离散视场的多相机方法是离散的三维全局测量；
而连续视场的MC-DIC 方法通过系统标定，可以获得连续的全场三维变形信息。本文将以隔振台上的平移实验和三点弯曲实验为例，简要阐述连续视场的MC-DIC 方法的应用，并将MC-DIC 方法和双相机3D-DIC 方法的测量结果进行对比，以验证其可靠性。

1.1 3D-DIC 方法

DIC 方法利用相机拍摄变形前后物体表面的数字图像，通过追踪识别物体表面随机分布的自然纹理或人工散斑，匹配变形前后图像的灰度信息来获得各点的位移信息，对位移信息进行一定处理后得到应变数据。该方法中，散斑是变形的载体。常用的散斑制作方法包括记号笔点涂、喷涂哑光漆、喷枪喷涂粉料、数字散斑［10］转印方法等。图1 展示了3D-DIC 方法的实验装置和基本原理，它将DIC 方法与双目立体视觉原理相结合，使用两个相机观测同一区域，经过数字图像相关运算及三维重建，获得物体表面的三维形貌及变形信息。

图1 3D-DIC 方法的实验装置和基本原理Fig.1 Experimental setup and principle of 3D-DIC method

3D-DIC 方法中，必不可少的步骤是相机标定。相机成像模型中包含图像坐标系、相机坐标系和世界坐标系，相机标定就是确定三种坐标系转换过程中所有参数的过程。首先，以像素为单位的图像坐标系和以物理单位表示的图像坐标系之间的转换，由相机内部参数A（主要包括主点坐标cx、cy，等效焦距fx、fy和偏斜系数fs）和畸变参数D（主要包括一阶、二阶径向畸变系数k1、k2和理想像点到主点的距离r）描述；
其次，相机坐标系和图像坐标系之间的转换，是三维空间点到二维图像点的投影转换；
最后，世界坐标系和相机坐标系之间的转换，即相机相对世界坐标系的位置关系，由相机外部参数（3×3 旋转矩阵R和三维平移向量t）描述。通常采用平面标定法进行相机标定，选择棋盘格或圆点图案的平面标定板，在实验前采集不同姿态下标定板的标定图像，对单相机的内部参数和双相机的外部参数进行标定。因此，从世界坐标系中三维空间点P到图像坐标系中二维像点p的转换，可以采用p=（P，A，D，R，t）来描述。对单个相机而言，内部参数是相机的自有属性，A和D是恒定不变的；
但外部参数是变化的，不同姿态下的标定图像对应着不同的R和t。假设标定过程中采集了不同姿态下标定板的n张标定图像，每一张标定图像上有m个特征点，那么，可以先线性求解相机参数的初值，再采用基于Levenberg-Marquardt 算法的光束平差法对相机参数和三维坐标进行整体优化迭代，最终得到相机参数的精确解，优化的目标函数为：

完成相机标定之后，根据相机的内、外参数，就可以从两个相机图像上点的二维图像坐标重建出该点相应的三维空间坐标。通过在图像中定义待计算区域，划分虚拟网格，计算每个网格节点的位移，以获得全场位移分布。通常，在变形前的参考图像中选取待求的参考图像子区，通过搜索方法，在变形后的目标图像中按一定的相关函数进行模板匹配，寻找与参考图像子区有最大相关性的目标图像子区，以此确定待测点在各个方向上的位移，对位移场进行局部最小二乘拟合后，得到全场应变信息。

1.2 MC-DIC 方法

连续视场的MC-DIC 方法，利用多个相机同步测量被测表面的若干局部区域，每个局部区域的测量均建立在双目立体视觉的基础上：（1）每个局部区域均被至少两个相机的测量视场覆盖，以确保被测表面每个待测点由至少一套双相机3D-DIC 系统完成三维重构；
（2）相邻局部区域满足一定的视场重叠要求，以确保全表面连续变形测量的完整性；
（3）以平面标定板作为坐标系转换的媒介，建立各个相机局部坐标系与整体坐标系之间的转换关系，将局部坐标系下全部数据点统一至同一整体坐标系，形成整体的立体视觉系统后，再进行三维变形计算。图2 为四个相机组成的连续视场MCDIC 系统，其中两两相机组成一套3D-DIC 子系统，两套子系统的测量视场之间存在一定范围的重叠区域，被测表面的每个待测点均可以通过至少一套3D-DIC 子系统完成三维重构。对于任意一个图像子区，若该子区仅存在于一套3D-DIC 子系统的测量视场中，则直接执行三维重构；
若该子区存在于两套3D-DIC 子系统的视场重叠范围内，则选择三维重构误差［5］较小的3D-DIC 子系统完成三维重构；
重复以上步骤，依次遍历计算每个图像子区，直至完成被测全表面的三维重构过程。

图2 四个相机组成的MC-DIC 系统Fig.2 MC-DIC system containing four cameras

实现连续视场的MC-DIC 方法，最重要的步骤是建立三维空间点和二维图像中对应点之间的映射关系，将各相机局部坐标系下的全部数据点统一至同一全局坐标系，也就是多相机标定的过程。以平面标定板作为媒介，建立各相机的局部坐标系与全局坐标系之间的转换关系。在常规的棋盘格标定板上添加圆形标识来预定义全局坐标系的原点O 和坐标轴X、Y，将XOY 平面的法线定义为坐标轴Z。下式可以描述从各相机的局部坐标系到全局坐标系的转换关系：

其中，W代表全局坐标系，Ck代表各相机的局部坐标系；
M j W是标定板上特征点在全局坐标系中的坐标，mj Ck是标定板上特征点在各相机局部坐标系中的坐标，HC Wk是各相机局部坐标系与全局坐标系之间的转换矩阵。将各相机的局部坐标系统一至全局坐标系的过程，就是求解这个转换矩阵HC kW的过程。

对于由N个相机组成的多相机系统，将各相机的内、外参数加入公式（1）后可以得到公式（3）的目标函数。由1.1 节内容可知，A有5N个参数，D有3N个参数，R有3（N-1）个参数，t有3（N-1）个参数。各相机采集不同姿态下标定板的n张标定图像，标定板上包含m个特征点，每张标定图像可以列出2 个方程，那么，总共能够建立N×2nm个方程。根据相机数目合理规划需要采集的标定图像数目，便可解算出各相机的全部参数。由公式（3）目标函数优化过程中的残差值，即全局重投影误差，对标定质量进行评估。

完成以上相机标定过程，将多个相机标定为一个整体三维测量系统，再进行三维重建和三维变形计算，具体步骤包括：参考图像的立体匹配和三维重构、变形图像的时序和立体匹配、变形图像的三维重构和位移计算以及应变计算。

连续视场的MC-DIC 方法存在两种多相机布置方案。图3（a）展示的多相机分布一中，每两个相机可以看成一套双目立体视觉子系统，每套子系统观测对应的感兴趣区域（Area of Interest，AOI），各套子系统之间存在一定的视场重叠区域（图中红色虚线框），具体来说，相机1 和2 组成子系统1 的测量视场AOI 1，相机3 和4 组成子系统2 的测量视场AOI 2，AOI 1 和AOI 2 之间存在部分重叠；
相机5 和6 组成子系统3 的视场AOI 3，AOI 2和AOI 3 又存在部分重叠；
以此类推，相机n-1 和相机n组成子系统n/2 的测量视场是AOIn/2。各套双目系统由平面标定板进行标定，当标定板处于AOI 1 和AOI 2 的视场重叠区域时，可以对子系统1 和2 的外部参数进行标定，为了使两套子系统能同时观察到完整的标定板，此种分布形式一般要求该重叠区域不小于视场的1/3。同理，任意相邻的两个视场之间均能采用该方法进行子系统间的外参标定，实现整个多相机系统的外参标定。将每套双目系统的测量结果通过坐标转换关系变换到同一全局坐标系下，便实现了多相机系统的全局三维测量。

图3 连续视场的MC-DIC 方法的相机分布形式Fig.3 Camera arrangement forms for continuous-view MC-DIC method

与多相机分布一不同，图3（b）的分布二中，所有相邻的两个相机均组成立体视觉子系统。具体而言，相机1 和相机2 的测量视场完全重叠，组成子系统1 用于测量AOI 1 区域内的变形信息；
相机3 的视场（AOI 2）与AOI 1 部分重叠，相机3 和相机2（或相机1）组成子系统2；
而AOI 2 和相机4 的视场（AOI 3）又存在部分重叠，同理，相机3 和相机4 又可以组成子系统3，以此类推，相机n-2和相机n-1 的视场存在部分重叠，相机n-1 和相机n的视场完全重叠，组成子系统n-1 用于测量AOIn-1 区域内的变形信息。采用平面标定板依次标定所有相邻两相机之间的外部参数，从而实现多相机系统的全局测量。为了确保测量结果的完整性，此种分布形式一般要求各重叠区域不小于测量视场的1/2，否则将出现部分区域不能被两个或两个以上相机观测到的现象，从而影响该区域的三维变形测量。

综上所述，图3（b）的分布二是最节省相机分辨率的布置方式。下面通过实验室内隔振台上板的平移实验和梁的三点弯曲实验，将连续视场的MC-DIC 系统与双相机3D-DIC 系统的位移、应变测量结果进行比较，以验证其可靠性。

2.1 平移实验

首先是玻璃板平移实验，实验布置如图4所示。利用高精度电动平移台使其上固定的玻璃板发生某个方向的平动，玻璃板一侧是双相机3D-DIC 系统，另一侧是由6 个相机组成的连续视场MC-DIC系统，两个系统均由分辨率为2 448×2 048 像素、像元尺寸为3.45 μm 的工业相机和焦距为25 mm的镜头组成。双相机系统的测量视场为400 mm×160 mm；
连续视场的多相机系统中每个相机的视场为160 mm×160 mm，其中，首端两个相机的测量视场完全重合，中间的两两相机测量视场均重合50%，末端两个相机的测量视场完全重合。多相机系统的图像分辨率相当于双相机系统的2.5 倍。DIC 方法中，散斑大小对变形测量精度有着重要影响。因此，根据板两侧系统中单个相机视场大小的不同，由计算机生成相适应尺寸的散斑图像，打印后分别粘贴在板两侧。实验时，利用电动平移台让玻璃板产生已知的单向移动，两个系统同时采集散斑图像，对板的纯平动位移进行测量。

图4 板的平移实验Fig.4 Translation experiment of plate

玻璃板沿着板的面内水平方向发生平动，每平移5 mm 记录一次，共移动10 次。由表1 左半部分可以看出，两系统的面内位移测量值与实际平移量较为吻合，3D-DIC 系统的最大相对误差为0.28%，MC-DIC 系统仅为0.14%，且大多数在0.05%以内。再者，玻璃板沿着垂直于板面的离面方向发生平动，每移动2.5 mm 记录一次，共移动10 次。由表1 右半部分可以发现，两系统的离面位移测量结果与实际平移量较为吻合，3D-DIC 系统的最大相对误差为0.88%，MC-DIC 系统仅为0.42%，且大多数在0.08%以内。结果表明，相比于双相机系统，多相机系统的位移测量精度有所提高。

表1 板的平移实验位移测量数据Tab.1 Displacement measurement data for the translation experiment of plate

2.2 三点弯曲实验

为了进一步检验连续视场MC-DIC 方法的实际变形测量能力，在隔振台上进行梁的三点弯曲实验。和平移实验一样，在梁两侧分别布置双相机组成3D-DIC 系统和六个相机组成的MC-DIC 系统，两系统均采用分辨率为2 448×2 048 像素、像元尺寸为3.45 μm 的工业相机和焦距为25 mm 的镜头，实验现场如图5 所示。梁的尺寸为400 mm×80 mm，双相机系统的测量视场为400 mm×80 mm，多相机系统中每个相机的测量视场为80 mm×80 mm。根据两侧视场大小的不同，选择相适应尺寸的散斑，具体制斑方法为：先在梁表面以均匀喷涂的方式，喷涂一层白色哑光漆作为底色，再以散布喷涂的方式，喷涂黑色哑光漆作为斑点，最终形成散斑。实验中，通过手动转动加载手柄的方式对梁进行加载。

图5 梁的三点弯曲实验Fig.5 Bending experiment of beam

连续视场的MC-DIC 系统与双相机3D-DIC系统获得的梁表面位移及变形分布如图6 所示。从图中可以看出，多相机系统能够完整地还原全表面的三维形貌，并得到全场位移和应变，能够实现细长梁全表面的实际变形测量。结果表明，多相机系统与双相机系统得到的位移场和应变场基本一致，均符合三点弯曲的变形特征。即，位移方面：水平方向上位移分布呈蝶形，竖直方向上位移从支座两端到加载点逐渐增大；
应变方面：应变图显示上部受压，下部受拉，中性层位置的应变基本为0，并且因跨中顶部受集中力作用，顶部应变最大数值大于底部应变最大数值。值得说明的是，因双相机系统一侧梁的中间区域被加载手柄遮挡，其位移和变形云图里，跨中部分出现了空白区域。

图6 双相机系统和多相机系统的位移场及应变场对比Fig.6 Comparisons of displacement field and strain field for stereo-camera system and multi-camera system

为了拓展3D-DIC 方法的应用范围，解决双相机3D-DIC 方法在测量大长细比、大曲率和复杂全表面连续变形时存在的问题，将3D-DIC 方法和多相机同步采集系统相结合，建立了连续视场的多相机三维数字图像相关测量方法，从增加相机数目以提高相机空间分辨率的角度，提高了DIC 的应变测量精度。结论如下：

（1）连续视场的MC-DIC 方法有两种多相机分布形式。一是两个相机组成一个立体视觉子系统，各子系统视场之间存在不小于1/3 视场的重叠区域；
二是所有相邻的两相机均组成立体视觉子系统，各相机视场重叠区域不小于测量视场的1/2。

（2）板的平移实验表明，连续视场的MC-DIC系统获得的面内和离面位移测量值与实际平移量较为吻合；
相较于双相机系统，连续视场的MCDIC 方法测量精度在一定程度上有所提高。

（3）梁的三点弯曲实验表明，连续视场的MCDIC 方法能够完整还原细长梁全表面的三维形貌，并获得全场位移与应变信息；
多相机系统得到的位移场和应变场与双相机系统结果吻合，均符合三点弯曲的变形特征，连续视场的MC-DIC 方法在实际变形测量中是可靠的。

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