一类分数阶系统的有界H∞事件触发跟踪控制

吴 宇，李 平，李小华

（辽宁科技大学 电子信息与工程学院，辽宁 鞍山 114051）

近年来，关于分数阶系统的控制问题越来越受关注。backstepping技术在解决这类问题上已得到广泛使用［1-4］。但是，在许多实际过程中，系统的控制方向可能是未知的，这意味着输入变化对输出变化方向的影响是未知的，解决这个问题的常用方法是使用Nussbaum 函数［5］。基于Nussbaum增益函数，文献［6］针对一类具有未知控制增益符号的分数阶非线性混沌单输入单输出系统，提出一种改进的模糊自适应控制策略。文献［7］研究了不确定分数阶严格反馈非线性系统在未知输入量化、未知控制方向和未知执行器故障情况下的自适应反演控制设计问题。因此，在设计过程中考虑未知控制方向这一限制因素是有必要的。

在实际工业系统控制中，外部扰动是最常见的影响控制效果的因素。1981 年，Zames 引入了H∞控制的概念［8］。对于分数阶系统的鲁棒H∞控制问题，也出现了许多研究成果［9-12］。目前，针对非线性分数阶系统的鲁棒H∞控制研究，一方面是通过对系统进行Lyapunov稳定性分析并求解得到黎卡提方程，从而获得分数阶系统的自适应模糊H∞控制器［9-10］；
另一方面是直接采用Lyapunov稳定性分析方法和线性矩阵不等式方法得到系统的H∞观测器和静态输出反馈控制器［11-12］。与上述方法不同，文献［13］首次采用backstepping技术提出一种自适应神经网络H∞跟踪控制的设计方法，但在设计H∞控制器时，需要系统达到渐近稳定。而对于分数阶系统在采用先进控制方法时通常只能获得有界稳定的结果，难以设计其H∞控制器。为解决该问题，文献［14］提出一种有界H∞控制方法，使得系统在有界稳定的情况下也能设计H∞控制器，从而保证系统对外部干扰具有H∞性能。因此可以考虑分数阶系统在有界稳定情况下的H∞控制问题。然而，目前尚未看到有关具有未知控制方向的分数阶系统的有界H∞控制的研究报道。

网络控制能够提高控制效率，降低重构和维护成本。传统反馈控制信号在闭环网络环境中的周期性传输需要较高的网络带宽，而事件触发控制是减少网络通信和控制器调整频率的一种方法，并且涌现了大量研究成果［15-17］。目前，事件触发控制中常用的有固定阈值策略和相对阈值策略。固定阈值策略的特点是无论系统控制量多大，事件采样误差ζ(t)总是受一个给定常数的限制，但是这可能并不适用于所有的系统。在实际系统中，考虑稳定性问题时，经常要考虑控制信号的值。因此，本文采用相对阈值控制策略进行系统设计，考虑控制信号对事件采样误差ζ(t)限制条件的影响。

受上述成果的启发，本文针对一类带有不确定外部干扰和输入饱和的且控制方向未知的非同元次分数阶严格反馈非线性系统，提出一种基于事件触发机制的自适应神经网络有界H∞跟踪控制策略。应用该策略所得到的控制器能够保证系统跟踪误差及闭环系统中的所有信号是有界的，并且对外部干扰具有很好的抑制性能。同时系统的控制输入不再频繁进行更新，更加节约通信资源。

1.1 系统描述

考虑具有输入饱和的非同元次分数阶严格反馈非线性系统，其系统方程描述为

式中：0 ≤αi≤1(i=1,2,…,n)为系统阶次；
[x1,x2,…,xn]T=x∈Rn表示系统的状态向量，且xi=[x1,x2,…,xi]T∈Ri；
y∈R 表示系统的可量测输出；
fi(⋅):Ri→R 和gi(⋅):Ri→R 均为未知的光滑非线性函数；
di(⋅)∈L2([0,T],R)为不确定外部扰动信号；
u(v)表示控制器的饱和输出。

本文中，饱和非线性被定义为

式中：v表示饱和非线性的输入；
uM代表饱和非线性的未知参数。

这里采用与文献［18］相似的处理方法，借助一类光滑的双曲正切函数去逼近上述的饱和函数，即

此时，饱和函数sat(v)被定义为

其中，Δ(v)是有界的，且

这里，D为Δ(v)的上界。

此时，利用中值定理，存在一个常数0<ς<1，可以得到

同时，令Υ(0)=0，则式（7）可以化简为

因此，饱和函数sat(v)可以被转化成

那么将式（9）代入式（1），系统方程可以改写为

本文控制目标为：设计一个基于事件触发机制的自适应神经网络有界H∞跟踪控制器，使得该闭环分数阶系统输出跟踪给定的参考信号yd(t)且系统中所有信号均是有界的，同时对外部扰动具有H∞干扰抑制性能。

为了实现上述的控制目标，先对系统做如下假设：

假设1 参考信号yd(t)及其αi∈(0,1)阶导数(t)(i=1,2,…,n)为已知连续且有界的函数。

假设3 对于式（8）中的函数Υvς，有0<Υvς<1。

本文中，利用径向基函数（Radial basis function，RBF）神经网络能够在有界闭集ΩZ∈Rq上逼近未知的连续非线性函数F(Z)［19］，即

其中，W*T表示RBF神经网络的最优权向量，定义式为

这里σ(Z)为估计误差，对于任意的有界正常数σ*，都有|σ(Z)|≤σ*。

1.2 预备知识

为了获得本文的主要结果，这里给出必要的定义及引理。

定义1［20］若系统（1）满足下列条件：（1）对于任意的初始状态，若存在一个连续可微的函数V(ε)>0，有V̇(ε)≤-a0V(ε)+k0成立；
（2）不等式

成立。则上述系统对于外部扰动d具有H∞抑制性能，同时，式（14）被称为有界H∞性能指标。其中，a0,k0是正实数，ε1表示系统的跟踪误差，d(t)∈L2[0,t]是非零外部扰动，γ为给定的干扰抑制系数。

定义2（Caputo 分数阶微分）［21］设函数f(t)在[t0,t]上n阶可导，f(n)(t)在[t0,t]上绝对可积，则有

其中，t≥t0，n∈N，且n-1<α

定义3［22］对于满足式（17）以及式（18）所示性质的函数N(ζ):R →R，称为Nussbaum函数。

引理1［23］一个分数阶系统Dαy(t)=u(t) ，其中，0<α<1，y(t)∈R，u(t)∈R 可被看成如下的连续频率分布模型

引理2［22］ζi(⋅)为定义在[0,tf]上的光滑函数，且N(ζi)为光滑的Nussbaum 增益函数，考虑系统（1），若存在一个正定的，径向无界的，连续可微的Lyapunov函数V:Rn→R，常数a0>0，b0>0，满足

则V(t)，ζi(t)和̇在[0,tf]上有界。其中，表示时变参数。

引理3（Gronwall不等式）［24］假设x(t)，χ(t)，ϕ(t)是在t∈[a,b]上的实连续函数且χ(t)≥0，如果对任意的t∈[a,b]满足

则有

为了简化推导过程，在后面的设计中将非线性函数中的自变量略去，如：fi(i)，gi(i)，di(t)写成fi，gi，di。

首先，采用式（23）及式（24）进行坐标变换

其中，ε1是系统的跟踪误差，yd是系统的期望信号，τi-1是系统的虚拟控制量。θ̂i表示未知常数θi的估计值，且̂ 指的是θi的估计误差，这里，θi可以描述为。那么可以得到

其中，0<β<1，则其对应的频率分布模型为

根据跟踪误差的定义以及系统方程得到分数阶微分方程为

由引理1可以得到Dα1ε1对应的频率分布模型为

第1步 选取Lyapunov函数为

对Lyapunov函数求导得

根据式（26）和式（28），可以得到

由Young’s不等式可得

将式（32）和式（33）代入式（31）中得

定义函数F1为

采用RBF 神经网络对未知非线性函数F1进行逼近，即

其中，Z1=[x1,yd,Dα1yd]T，借助Young’s 不等式可以得到

其中，λ1>0 为设计参数，将式（37）代入式（34）中得

选取虚拟控制τ1为

其中，c1>0 为设计参数，将式（39）和式（40）代入式（38）中得

选取自适应律Dβθ̂1为

此时得到

第i步(i=2,…,n-1) 选取Lyapunov函数为

对Lyapunov函数求导得

由式（10）和式（24）得到分数阶微分方程为

根据式（26）、式（43）和式（46），可以得到

由Young’s不等式可得

因此，将式（48）和式（49）代入式（47）中得

定义函数Fi为

类似于第1步，采用RBF神经网络对其进行逼近，即

其中，λ1>0,i=2,…,n-1 为设计参数，将式（53）代入式（50）中得

选取虚拟控制τi为

其中，ci>0,i=2,…,n-1 为设计参数，将式（55）和式（56）代入式（54）得到

选取自适应律Dβθ̂i为

此时得到

第n步 选取辅助Lyapunov函数为

p0>0 是一个辅助参数，引入它的目的是为了后续证明系统满足有界H∞性能指标。由于它不影响基于Lyapunov 函数的稳定性分析，即不参与控制器设计，因此无需知道它的实际值。

对式（60）求导得到

由式（10）和式（24）得到分数阶微分方程为

根据式（26）和式（62），可以得到

由Young’s不等式可得

因此，将式（64）和式（65）代入式（63）中得

类似于前面步骤，同样用RBF 神经网络进行逼近，即

其中，λn>0 为设计参数，将式（69）代入式（66）中得

其中，cn>0 为设计参数，并对该控制采用相对阈值的事件触发机制设计，饱和非线性的控制输入设计成如下形式

事件触发机制定义为

这里，定义ζ(t)=w(t)-v(t) 表示事件采样误差，tk(k ∈z+)是控制器更新时间，0<Λ<1，κ>0，m>0且均是正的设计参数。

根据式（74）和式（75）中的定义ζ(t)=w(t)-v(t)，∀t ∈[tk,tk+1)，可以得到

化简得

其 中，η1(t) 和η2(t) 是 时 变 参 数 满 足 |η1|≤1 ，|η2|≤1。将式（77）代入式（70）得

因η1(t)∈(-1,1)且η2(t)∈(-1,1)，可以得到

根据式（73）、式（78）、式（79）和式（80），可得

根据文献［25］中的引理3 可知，0 ≤ |εn|-εntanh，又有，将式（71）和式（72）代入式（81）可得

选取自适应律Dβθ̂n为

将式（83）代入式（82），并进一步整理得到

其中，g̑j被定义为如下的形式

基于上述推导，可得到如下定理：

定理1 对于满足假设1～3 的带有外部扰动的非线性分数阶系统（1），如果按照式（39）～（40）、（55）～（56）、（71）～（75）以及（42）、（58）、（83）来获得系统的虚拟控制律、实际控制律及自适应律，则该闭环非线性分数阶系统的输出能够跟踪给定的参考信号yd(t)，且系统中所有信号均是有界的，同时对外部干扰具有H∞干扰抑制性能。

证明 （1）稳定性的证明。定义整个系统的Lyapunov函数为

结合式（43）、（59）以及（84），可得

对于式（87）中的最后一项0.557，由于=gnΥvζ的存在，使得该项正负均有可能。因此，将从如下的两个情形进行分析，并对该项进一步处理。

情 形1 当gn∈[gn0,gn1]⊂(0,+∞) 时，∈[Υvζgn0,Υvζgn1]⊂(0,+∞)，根据假设2 和假设3 可知0.557是有界的，因此，存在一个正常数Θ，很容易得到0.557κBZ_41_1405_2129_1428_2174.pngn≤Θ 成立。

情 形2 当gn∈[-gn1,-gn0]⊂(-∞,0) 时，∈[-Υvζgn1,-Υvζgn0]⊂(-∞,0) ，那 么0.557<0 。则0.557可以消去。

按情形1考虑，式（87）可以整理为

将式（89）代入式（88）中得

考虑系统自身稳定性问题时，令dj=0 ，j=1,…,n，有

根据式（91），可以得到

其中，a0=2Θ+a0p0。由引理2 可知，̇是有界的，此时可设其有上确界为Q>0 ，则有，同时所设计的控制器保证了系统（1）的所有信号是有界的。那么，式（92）可以进一步整理为

（2）H∞性能的证明。由式（90）可知

其中，外部干扰信号d=[d1,d2,…,dn]T，逼近误差。此时得到

定义一个辅助函数

根据式（93）和式（95），可以得到

由式（86）可知V>0，则一定存在一个未知常数h>0，满足

则

对式（99）从0到t积分可得

其中，ε(t)=[ε1,ε2,…,εn]T。根据引理3，令ϕ(t)=V(ε(0))+(γ2‖d(s)‖2-ε(s))ds，χ(s)=η，则可得到

下面用反证法证明ϕ(t)>0。首先假设ϕ(t)≤0，则有

可见式（86）与式（102）矛盾，所以假设不成立，因此ϕ(t)>0，即

根据定义2和式（103）可以说明该控制器设计满足定义2 的有界H∞性能指标，即对外部干扰具有H∞抑制能力。

（3）排除Zeno 行为。对于任意t∈[tk,tk+1)，由ζ(t)=w(t)-v(t)可得

因为fi(⋅)和gi(⋅)都是光滑函数，即连续且可导，根据式（73）可知w(t)也是连续可导函数，且由式（73）可求得ẇ(t)，可知ẇ(t)也是关于x的函数，并且已经得到该闭环系统中x是有界的，所以|ẇ(t) |为 有 界 函 数，即 存 在 常 数ϑ>0 ，使 得|ẇ(t) |≤ϑ。在事件触发机制的定义里，当tk时刻ζ(tk)=0 且tl→imtk+1ζ(t)=Λ |v(t) |+m。由式（104）可知事件触发的时刻间隔满足tk+1-tk≥(Λ |v(t) |+m)/ϑ，即该时刻间隔存在下确界t*≥m/ϑ，则该事件触发机制不会发生Zeno行为。

为了验证本文所提出控制方法的有效性，对文献［17］中的分数阶系统进行仿真研究，其数学描述为

其中，α1=0.96,α2=0.99。设计参数选为：β=0.95，c1=c2=4 ，λ1=λ2=5 ，δ1=δ2=1.5 ，，Λ=0.01，m=10，κ=1，m=0.01；
系统的初始条件为[x1(0),x2(0)]T=[0,3,-0.2]T；
饱和非线性的界为uM=10 ；
参考信号为yd=0.3 sin(t) ；
外部扰动为d1=sin(t)e-2t，d2=cos(t)e-0.5t。自适应参数的初始值均取0.1。RBF神经网络的基函数均为高斯函数，宽度为2，神经网络包含73个节点，均匀分布在区间［-3,3］×［-3,3］×［-3,3］上；
神经网络包含76个节点，均匀分布在区间［-3,3］×［-3,3］×［-3,3］×［-3,3］×［-3,3］×［-3,3］上。

根据上述参数，由定理1 得到系统的控制器，对系统进行仿真，其结果如图1～图6所示。

图1 系统输出跟踪效果及对比Fig.1 System output tracking effect and comparison

图1 表示无外部干扰和有外部干扰时的系统输出跟踪效果对比曲线。无论有无外部扰动，系统输出y都能够以较高的精度跟踪给定的参考信号yd。图2 表示系统跟踪误差ε1的对比曲线，表明两种情况下系统的跟踪误差基本保持一致，能够达到有界稳定的结果。图3表示系统状态x2的对比曲线，图4表示具有饱和的控制信号u的对比曲线。图3和图4表明，闭环系统中的所有信号均是有界的，且外部干扰对系统控制效果基本没有影响，证明所提出的控制方法具有H∞干扰抑制性能。图5表示在事件触发机制的作用下，控制信号w和v的曲线，图6 表示触发时间间隔图。从图5和图6可以看出，该控制器避免了控制信号的不断更新，减少了资源的浪费。上述仿真结果验证了所提出控制方法的有效性。

图2 系统跟踪误差ε1 曲线及对比Fig.2 System tracking error ε1 curves and comparison

图3 系统状态x2 曲线及对比Fig.3 System state x2 curves and comparison

图4 具有饱和的控制信号u 曲线及对比Fig.4 Control signals u curves with saturation and comparison

图5 事件触发机制下控制信号w 和v 曲线Fig.5 Control signals w and v curves under event-triggered mechanism

图6 触发时间间隔Fig.6 Trigger time interval

本文研究一类带有不确定外部干扰和输入饱和且控制方向未知的非同元次分数阶非线性系统基于事件触发机制的自适应有界H∞跟踪控制问题。采用backstepping 控制方法、RBF 神经网络、有界H∞控制方法、Nussbaum增益技术以及相对阈值策略，提出一种自适应神经网络有界H∞事件触发跟踪控制器的设计方案。该方案能够使系统输出较好地跟踪给定的参考信号，同时保证跟踪误差及闭环系统的所有信号均是有界的，外部干扰对系统性能基本无影响，并且能够减少控制信号的更新次数，避免资源的浪费。同时在系统中考虑了饱和因素的影响，所提出的控制策略也更符合实际情形。该方法利用频率分布模型构造系统的Lyapunov 函数，设计过程中不用求解其分数阶导数，使此类设计更加简单方便。

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