求解广义BBM-KdV方程的守恒型有限差分方法

王希　张爽　胡劲松

摘要：BBM-KdV方程因能描述大量的物理现象如浅水波和离子波等而占有重要的地位，是弱非线性色散介质中长波单向传播的重要模型，其数值研究少有涉及。针对一类带有齐次边界条件的广义BBM-KdV方程的初边值问题，提出了一个具有二阶理论精度的两层非线性有限差分格式，合理模拟了问题本身的两个守恒量，并给出差分格式的先验估计，讨论其差分解的存在唯一性，并用离散泛函分析方法证明该格式的收敛性和无条件稳定性，最后通过数值模拟验证了该数值方法的可靠性。

关键词：广义BBM-KdV方程;差分格式;守恒;收敛性;稳定性

DOI：10.15938/j.jhust.2022.04.019

中图分类号：
O241.82

文献标志码：
A

文章编号：
1007-2683（2022）04-0147-07

Conservative Finite Difference Method for Solving

Generalized BBM-KdV Equation

WANG Xi，ZHANG Shuang，HU Jin-song

（School of Science， Xihua University， Chengdu 610039，China）

Abstract：The BBM-KdV equation plays an important role because it can describe a large number of physical phenomena， such as shallow water waves and ion waves. It is an important model for long-wave unidirectional propagation in weakly nonlinear dispersive media， but its numerical investigations are rarely made. For the initial-boundary value problem of the generalized BBM-KdV equations with homogeneous boundary conditions， a two-level nonlinear finite difference scheme with the second-order theoretical accuracy is proposed， which reasonably simulates the two conserved quantities of the problem. With a priori estimation， the existence and uniqueness of the difference solutions are dicussed. By the discrete functional analysis method the convergence and unconditional stability of the scheme are also proved. Finally， some numerical experiments verify the robustness of the proposed scheme.

Keywords：generalized BBM-KdV equation; difference scheme; conservation; convergence; stability

0引言

1差分格式及守恒性

2差分解的存在性

3收斂性、稳定性及数值解的唯一性

4数值实验

5结语

本文对一类带有齐次边界条件的广义BBM-KdV方程的初边值问题（1）～（3）进行了数值方法研究，提出了一个两层非线性数值差分格式（6）～（8），该格式是无条件稳定的。从表1可以看出，该数值格式明显具有二阶精度;从表2和图1、2可以看出，数值式格式对原问题的物理守恒量（4）和（5）也进行了合理有效地模拟。另外，数值模拟还发现，参数β和γ的变化对数值解的误差影响也较小，所以本文数值求解方法是可靠的。

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（编辑：温泽宇）

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