发展高阶能力的数学教学设计

摘  要：发展高阶能力的关键是设置挑战性任务. 在数学教学中，根据教学内容制订层次性目标，通过变换任务空间、变换任务的结构序列和变换任务生成的主体使设计的任务具有挑战性，通过布置选择性作业，激发学生生成课堂所要探究的内容和方法，发展学生的高阶能力.

关键词：高阶能力；
数学教学；
教学设计

高阶能力是以高阶思维为核心解决复杂任务的心理特征. 数学教学中发展高阶能力主要是运用数学概念、原理和学生元认知，通过抽象、推理、建模、批判、问题解决与决策、自我调节等技能，达到理解应用、分析评价、创造等水平的高层次能力. 通过分析数学内容的思维层次和学生思维的落脚点，制订层次性目标，设计挑战性任务，并布置选择性作业，引发学生思考，从而发展学生的高阶能力.

下面以浙教版《义务教育教科书·数学》八年级下册（以下统称“教材”）中的“4.5 三角形的中位线”为例，谈谈如何设计教学安排，实现学生高阶能力的发展.

一、制订层次性目标

数学课程目标包括“了解”“理解”“掌握”“运用”等表述结果目标的行为动词和“经历”“体验”“感悟”“探索”等表述过程目标的行为动词. 通过细化目标层次，导向学生高阶能力的发展.

1. 教学目标体现思维层级

以知识、技能为载体的数学教学目标中蕴含的主线是发展学生思维能力的层级.

在三角形的中位线定理的证明中，目标1是能分析三角形的中位线定理的组成要素、结构（要素组成关系）等. 目标2是综合、选择和关联各要素，寻找策略，属于比较、综合的思维层次. 如图1，DE是△ABC的中位线，证明DE平行且等于1/2BC. 那么，什么知识涉及线段平行呢？可关联到平行四边形的知识（对边平行且相等）. 图1中DE明显不等于BC，结合题目要求证明“DE等于1/2BC”，想到延长DE，构造平行四边形. 这是在寻找模型的过程，进一步反思条件和结论，对照平行四边形的模型特征“对边平行且相等”，联通条件与结论，得到解决途径. 目标3是通过比较寻求合适的操作办法. 有多种方法可以得到平行四边形，如通过中心对称、延长法、截短法、同一法等. 比较不同的作法，抓住平行的本质特征，经过比较、反思、决策得到最优方案. 目标4是回顾、提炼与拓展，体现创造性思维水平. 例如，思考：当D，E是三等分点、n等分点时，还能得到相关结论吗？当倍半关系变成线段比值为k时，条件需要怎么变化？当将三角形的两边中点拓展成四邊形的两边中点、多边形的两边中点时，又能得到什么结论呢？这些任务指令促进学生进行方法迁移和拓展.

2.“探索”目标对应高阶思维能力

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《标准》）中，表述过程目标的行为动词刻画了学生数学活动的能力水平.“探索”目标所描述的数学内容的学习特征与反映高阶思维能力的活动完全一致，如表1所示.

落实“探索”目标，可以有效促进学生高阶思维的参与. 例如，《标准》要求探索并证明三角形的中位线定理. 学生想要探索三角形的中位线的性质，就要分析：三角形的中位线与原三角形有什么关系？三角形的中位线与什么元素有关系？它们之间是什么关系？用什么样的方式得到关系？教师通过让学生尝试猜测并验证得到结论，而不是让学生“测量”，暗示线段之间的数量关系. 探索任务启发学生形成思考途径. 第一步，确定研究对象是三角形的中位线，是一条线段. 第二步，考虑这条线段与相关线段（如三角形的三边，包括与之相交的两边及第三边）的关系，涉及数量关系与位置关系. 第三步，得到三角形的中位线与相交的两边的关系. 学生在猜测三角形的中位线与第三边的关系时会有一定难度，因此可以从特殊三角形（已有经验）入手. 根据对等边三角形和直角三角形的分析（如图2），由学生猜测一般三角形的性质：三角形的中位线平行且等于第三边的一半. 第四步，由学生画图，写出已知、求证，并证明. 第五步，学生用自己的语言归纳和概括得到三角形的中位线定理. 第六步，得到概念后进一步辨析、应用和拓展，对概念的基本要素进一步收敛和发散.

知识探究过程，也是思维序化的过程. 外在知识与学生经验之间互相转化，通过调动学生以往的经验来参与当下的学习，同时将当下的学习内容与已有的经验建立起结构性的关联，发展学生的关联能力及系统化自主建构能力，从而指向高阶能力的发展.

3. 思维行为显化高阶能力

课堂中，由学生推断、说理，概括、归纳思维路径，并对思维过程进行评价、反思、迁移和创造，形成探究几何图形的一般能力和学习的关键能力.

解决问题只是完成任务的一部分，进一步要求学生“表述思维路径”及回答“遇到什么挫折，怎么解决所碰到的挫折，提出了什么疑问”是对思维的评价、反思、自我调适；
“找到更好的方法”则驱动比较评价和发散的思维；
“归纳和提炼方法、主动应用、拓展变式”是系列化、创造的过程；
“迁移到学习新知识甚至其他学科”是学习方式的升华，具有方法论的意义，如表2所示.

通过数学问题的解决，让学生得到问题研究的一般方法和思考、探究的能力.

二、设计挑战性任务

引发学生高阶能力的关键是要有挑战性的任务. 通过设计目标指导下的课程内容，使之具有挑战性，激发学生应用、创造等高层次思维的参与，实现高阶能力的发展.

1. 变换任务空间

将封闭性任务变成开放性任务，减少对学生思维的限制，增加学生思维的空间．任务设置越开放，学生解决问题的方法就越多样，参与活动的技能就越多元，就越能发展学生的高阶能力．

例如，设置任务：如图1，△ABC是锐角三角形，AB > AC，点D是边AB的中点，点E在边AC上. ① 如果DE∥BC，那么DE =1/2BC. ② 如果DE =1/2BC，那么DE∥BC. 上述两个命题是否成立？若成立，说明理由；
若不成立，举出反例．

解决这个问题，学生需要比较、反思、寻找策略，涉及建模和批判性思维.

再如，得到三角形的中位线定理后，让学生思考：三角形的中位线描述了哪些量之间的关系？这些量可能得到什么关系？学生思考图1三角形的中位线涉及五个要素：① 点D是边AB的中点；
② 点E是边AC的中点；
③ DE是△ABC的中位线；
④ DE∥BC；
⑤[DE=1/2BC. 将五个要素中的任意两个（如①②，①③，①④，①⑤；
②③，②④，②⑤；
③④，③⑤；
④⑤）组成命题的条件，由其余的三个要素作为结论，得到多个命题，再通过学生证明，列举反例判定得到真命题和假命题.

进一步思考：三角形的中位线定理反映了图形中元素的位置关系与数量关系（边的比例），可以将其进一步推广得到什么结论？（为学习平行线分线段成比例定理进而到相似三角形判定作铺垫.）

在解决问题时，初始认知状态和目标认知状态之间存在着大量的备选路径，这些可能存在的状态和路径就构成了整个问题空间. 增大问题空间，学生进行问题解决的策略和思考路径会更扩散，学生创造的机会就更多.

2. 变换任务序列

将综合问题分解成基本要素是分析性思维；
反过来，将基本要素编制成数学题，就涉及创造性思维. 变换任务序列，有利于学生开展逆向思维、审辩式思维，促进高阶能力训练.

（1）分解要素.

一个综合的数学题好比复杂的机器，它的基本组成零件是数学知识要素. 学生解决问题时把综合问题分解成基本要素，再根据每个基本要素对应的基本图形解决问题．

（2）补全要素.

将综合图形问题分解成基本图形，当发现基本图形不完整时，把它补完整就需要添加辅助线. 例如，如图3，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点. 求证：四边形EFGH是平行四边形. 条件中有三角形的中位线（如EH）而无三角形，所以要添加辅助线（连接BD）构造△ABD. 有关线段倍半关系：如图4，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AF为∠BAC的平分线，交BD于点E，交BC于点F. 求证：OE =1/2FC. 所求的结论OE =1/2FC涉及线段的倍半关系，而点O是线段AC，BD的中点，所以考虑三角形的中位线的知识. 根据三角形的中位线的基本图形，OE是半线段，看作基本图形的中位线，缺少中位线基本图形中三角形的底边，所以过点C作CG∥OB，交AF的延长线于点G，从而将△ACG这个基本图形补充完整.

（3）重组、拓展要素.

通过基本要素重组、变换条件、变换结论、改变图形的位置、特殊条件一般化等方式，让学生进行问题的变式和拓展，体验问题结构和变式本质. 进一步，由学生根据基本要素自己编制数学题，考查学生将零件组成成品的能力，有利于学生体验数学概念的本质和由基本要素组成图形结构的过程，有利于激发学生对数学的学习兴趣. 例如，学生学习了三角形的中位线的性质，可以编制有关“三角形三条中位线的关系”“四边形的对边中点连线、邻边中点连线的性质”等问题，将中点、平行、线段倍半关系与其他知识点结合也可以得到许多数学题.

3. 变换任务主体

传统课堂常用PPT呈现知识，用解题代替数学教学，学生的自主性和创造性受到限制. 改变任务设计的主体时，课堂教学中不由教师预先设定所要探究的具体内容，而是由学生根据已有知识的逻辑结构生成所要探究的任务. 课堂中的题目由学生根据数学知识和情境自己编制出来，学生亲历任务的产生和解决过程.

由学生自发得到探究内容. 例如，三角形的中位线有什么性质？怎么研究？学生知道要研究三角形的中位线的性质，所以要思考研究性质要从哪些角度入手，要确定这条中位线与原有三角形的要素（边、角、三线）的关系，从而确定研究对象，进一步思考它们之间存在的数量关系或者位置关系. 学生探究得到三角形的中位线定理后，思考它适用于解决什么类型的问题，有哪些涉及三角形的中位线的数学题. 因此，学生要分析三角形的中位线相关要素之间的关系. 学生自主探究时，聚焦了学生感兴趣的内容，是自我探索的开端，属于自我调整策略系统，同时需要启动已有知识和策略，有利于更大程度地促进学生创造性思维的发展.

由学生进行群组互动并反馈探究任务得到的思维成果和经验. ① 反馈各自的观点. ② 反馈有创造性的想法，包括有创造性但没有形成结论的想法和有创造性但形成的结论是错误的想法. ③ 反馈多种不同的想法，许多学生想到一种证明方法后，往往就不再思考其他策略，所以应该培养学生养成追踪问题的本质的习惯，证明三角形的中位线定理的关键是将三角形转化为平行四边形，由平行四边形的判定方法可以得到多种思考方法. ④ 反馈思维路径及其发现过程，包括中间遇到的挫折，许多学生对图1有中心对称的意识，但是想不到作中心对称的对象是△ADE，相反情况是学生知道要改变△ADE的位置，但不会用中心对称说明，习惯用全等来解释（这也说明学生对中心对称的相应内容没有具体化）. ⑤ 反馈学生还有什么疑问或产生了什么新问题，如有的学生提出疑问：为什么要把三角形的内容安排在平行四边形的学习框架中，这说明学生是结构化、整体性地思考问题，把学习内容不断地纳入自我的知识系统. ⑥ 学生不仅反馈编制的数学题，还反馈问题编制的策略和路径及所编问题的创新点. 在数学推理和交流中，学生经历比较、批判、决策等過程，发展了分析、评价、创造等高阶能力.

三、布置选择性作业

一般一堂新课涉及5个知识点，每个知识点设置3个层次的练习题，遵循学生的思维特征与知识点之间的逻辑联系，以知识模块为中心，编排一定秩序的序列作业题，那么每天的数学作业量约是15道数学题.

1. 作业选择

对于“三角形的中位线”这节课，教材上有9道数学题（教材第99页的课内练习有2道题，第100页的作业题有5道题，第107页的目标与评定有2道题），加上作业本中的7道题，共16道数学题，可以供学生进行如下选择.

（1）由学生选择其中涉及不同知识点或不同层次的9道数学题. 这个作业比让学生完成全部作业要求更高，因为它要求学生区分题目所考查的具体知识要素和思维层次.

（2）由学生选做其中涉及不同知识点的6道题，并分解每道题中的基本要素和基本图形. 要求学生厘清要素，体现分析、综合、解决问题的能力.

（3）由学生选做其中涉及不同知识点的3道题，同时由学生根据知识要素自主编题. 选出学生编的好题，以学生姓名命名向全班张贴展示，其他学生若有更好的解答，则姓名会被相继替换. 这种作业可以体现学生的创造能力和比较反思能力.

2. 作业交互

每周末学生轮当“小老师”向全班反馈编题意图及关键点、解法优越性及突破点、不同解法比较和改进策略. 这个环节给学生提供思维碰撞、创造的平台，学生以题目原创新颖、思维含量高、解法多样为评价标准，掀起讨论数学、研究数学的热情. 学生在实际交互中发展评价、反思、创造等高阶能力.

为了实现作业探究实践、学生团队合作，得到学习创造性成果，可以把作业前置，使学生有充足的时间和空间保障.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2011年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2022.

［3］张娟萍. 高阶思维：初中数学教学变革的新视角［M］. 杭州：浙江大学出版社，2017.

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