妙用“一题多解”，在数学课堂教学中促进学生的学习

◎王美环

(天津市滨海新区汉沽第二中学，天津 300480)

新课标有言：“数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养，作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代的作用”“数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；
要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法”.

数学教学的任务不仅是传授知识,数学教学需要帮助学生在获得数学基础知识和基本技能的同时，更要获得数学思想和观念，形成良好的数学思维品质.“一题多解”可以帮助培养学生思维的灵活性和广阔性,教师若能充分挖掘一题多解的题型，在课堂上多方位开拓学生的解题思路,激发学生的学习兴趣,对于培养学生优良的思维品质和提高数学教学质量都具有深刻的意义.

下面，就以几道求角度的题目为例，谈谈这些题目的多种解题思路.

题目1：已知PA，PB分别与⊙O相切于点A，B,∠APB=80°,C为⊙O上一点.

(1)如图①，求∠ACB的大小；

图①

(2)如图②，AE为⊙O的直径，AE与BC相交于点D.若AB=AD，求∠EAC的大小.

图②

题目分析：本题是圆中关于角度的计算，主要考查学生对与角度有关的一些定理及其推论的综合应用的掌握情况，涉及的知识点主要有切线的性质、切线长定理、圆周角定理及其推论、三角形内角和定理及其推论、等腰三角形的性质、多边形的内角和公式等.

解法探析：

图1

第2问中，PA,PB分别与⊙O相切于点A,B,∠APB=80°这些已知条件未变，∠ACB作为弧AB所对的圆周角这一因素亦未变，所以第1问求得的∠ACB=50°在第2问中可以用.求∠EAC，需要结合具体的图形，可以把∠EAC看作是某个三角形的内角或是内角的一部分，利用三角形内角和定理及其推论求解；
亦可以把∠EAC看作是⊙O的圆周角，利用圆周角定理及其推论求解.而无论哪种求解思路，基本都分为三步，先求∠BAD，再求∠ABD(或∠ADB)，最后求∠EAC.具体解法如下：

第一步：求∠BAD

方法1：由切线长定理可得PA=PB，根据等边对等角可得∠PAB=∠PBA，结合已知∠APB=80°，利用三角形内角和定理可得∠PAB=50°，由切线的性质可得OA⊥AP，从而∠PAB+∠BAD=90°，所以∠BAD=40°.

方法2：如图2，连接CE，由直径所对的圆周角为直角可得∠ACE=90°，即∠ACB+∠BCE=90°，由第1问知∠ACB=50°，所以∠BCE=40°，由同弧所对的圆周角相等，可得∠BAE=∠BCE=40°.

图2

方法3：如图3，连接BE，由同弧所对的圆周角相等，可得∠AEB=∠ACB，由第1问知∠ACB=50°，所以∠AEB=50°，由直径所对的圆周角为直角可得∠ABE=90°，由直角三角形的两个锐角互余，可得在Rt△ABE中，∠BAE+∠AEB=90°，所以∠BAE=40°.

图3

第二步：求∠ABD(或∠ADB)

第三步：求∠EAC

方法1：(放在△ACD中求)

由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得∠ADB=∠DAC+∠ACD，因为∠ADB=70°，∠ACB=50°，所以∠EAC=20°.

方法2：(放在△ACE中求)

如图2，由同弧所对的圆周角相等，可得∠AEC=∠ABC=70°，由直径所对的圆周角为直角可得∠ACE=90°，由直角三角形的两个锐角互余，可得在Rt△ACE中，∠EAC+∠AEC=90°，所以∠EAC=20°.

方法3：(放在△ABC中求)

由三角形内角和定理，可得在△ABC中，∠BAD+∠DAC+∠ABC+∠ACB=180°，因为∠BAD=40°，∠ABD=70°，∠ACB=50°，所以∠EAC=20°.

方法4：(放在△OAC中求)

如图4，连接OB,OC，由OA=OB，根据等边对等角可得∠OBA=∠OAB=40°，因为∠ABD=∠OBA+∠OBD=70°，所以∠OBD=30°.由OB=OC，根据等边对等角可得∠OCB=∠OBC=30°，因为∠ACB=∠OCA+∠OCB=50°，所以∠OCA=20°.由OA=OC，根据等边对等角可得∠EAC=∠OCA=20°.

图4

方法5：(放在△ABE中求)

如图3，由直径所对的圆周角为直角可得∠ABE=90°，由∠ABE=∠ABD+∠EBD，∠ABD=70°，可得∠EBD=20°，由同弧所对的圆周角相等，可得∠EAC=∠EBC=20°.

方法6：(放在⊙O中求)

解法总结：在圆中计算一个角度，需要结合具体的图形.既可以把需求的角放在某个三角形中，看作是该三角形的内角或是内角的一部分，去寻找该角与三角形其他内角(或外角)的关系，利用三角形内角和定理(三角形三个内角的和等于180°)及其推论(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、直角三角形的两个锐角互余)求解.也可以把需求的角放在圆中，看作是该圆的圆周角，去寻找与该角所对同一条弧的圆周角或圆心角，利用圆周角定理(一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半)及其推论(同弧所对的圆周角相等)求解.

题目2：如图③，已知直线a∥b，∠1=110°，则∠2=________.

图③

题目3：如图④，AD∥CE，则∠A+∠B+∠C=________.

图④

题目分析：这两道题目是平行线中关于角度的计算，主要考查学生对与角度有关的一些性质、定理及其推论的综合应用的掌握情况，涉及的知识点主要有平行线的性质、对顶角的性质、平角及周角的性质、平行公理的推论、三角形内角和定理等.另外，还考查学生对于添加辅助线的掌握，包括过一点作已知直线的平行线、连接两点、延长线段等.

解法探析(题目2)：

方法1：(利用平行线的性质1)

如图5，由平角的性质，可得∠1+∠3=180°，

图5

因为∠1=110°，所以∠3=70°，根据“两直线平行，同位角相等”，可得∠2=∠3=70°.

方法2：(利用平行线的性质2)

如图5，由平角的性质，可得∠1+∠4=180°，

因为∠1=110°，所以∠4=70°，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠2=∠4=70°.

方法3：(利用平行线的性质3)

如图5，由对顶角的性质，可得∠5=∠1，因为∠1=110°，所以∠5=110°，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得∠2+∠5=180°，从而∠2=70°.

解法探析(题目3)：

方法1：(构造同旁内角)

如图6，过点B向右作BF∥AD，结合已知AD∥CE，根据“平行于同一条直线的两直线互相平行”，可得BF∥CE.根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得∠A+∠ABF=180°，∠CBF+∠C=180°，从而∠A+∠ABF+∠CBF+∠C=360°，即∠A+∠ABC+∠C=360°.

图6

方法2：(构造周角)

如图7，过点B向左作BG∥AD，与方法1同理可得BG∥CE.根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠A=∠ABG，∠C=∠CBG，由周角的性质可得∠ABG+∠ABC+∠CBG=360°，通过等量代换，可得∠A+∠ABC+∠C=360°.

图7

方法3：(构造平角)

如图8，过点B向右作BF∥AD，反向延长AD，CE分别至点M，N.根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠ABF=∠BAM，∠CBF=∠BCN.由平角的性质，可得∠BAD+∠BAM=180°，∠BCN+∠BCE=180°，通过等量代换，可得∠BAD+∠ABF+∠CBF+∠BCE=360°，即∠BAD+∠ABC+∠BCE=360°.

图8

方法4：(构造三角形)

如图9，连接AC，由已知AD∥CE，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得∠CAD+∠ACE=180°.由三角形内角和定理，可得∠BAC+∠B+∠BCA=180°.从而∠CAD+∠BAC+∠B+∠BCA+∠ACE=360°，即∠BAD+∠B+∠BCE=360°.

图9

方法5：(构造三角形)

如图10，延长AB与CE的反向延长线交于点H.由“两直线平行，同旁内角互补”，可得∠A+∠H=180°,由平角的性质，可得∠ABC+∠HBC=180°，∠BCH+∠BCE=180°,从而∠A+∠ABC+∠BCE+∠H+∠HBC+∠BCH=540°.由三角形内角和定理，可得∠H+∠HBC+∠BCH=180°，所以∠A+∠ABC+∠BCE=360°.

图10

解法总结：在平行线中计算角度，主要是根据平行线的三条性质(两直线平行，同位角相等；
两直线平行，内错角相等；
两直线平行，同旁内角互补)，平角的性质(平角等于180°)，周角的性质(周角等于360°)，对顶角的性质(对顶角相等)，三角形内角和定理(三角形三个内角的和等于180°)等，运用转化思想，将未知角度与已知角度建立起联系，进而求解.

利用“一题多解”在习题中变换解法，既能活跃学生的思维能力，又能促使学生更好地创新，还能帮助学生更好地串联知识和方法.在教学中教师应积极地引导学生从不同角度思考问题、解决问题，促使学生的思维向多层次、多方向发散，帮助学生在问题的解答过程中寻找解类似问题的思路、方法，充分调动学生学习的积极性，培养学生独立分析和解决问题的能力，以及大胆创新、勇于探索的精神，从而真正把学生能力的培养落到实处，为学生的全面发展和终身发展奠定基础.

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