活用指、对数函数的“单调性”巧解题

孙琳

指数函数和对数函数是高考数学必考重要知识点，难度适中，侧重考查其“单调性”在解题中的灵活运用.基于此，现通过归类举例解析，着重说明这两类函数的“单调性”的解题应用，目的在于帮助学生加深對这两个常用函数的“单调性”的理解与认识.

类型一活用单调性.比较大小

遇到有关涉及指数式或对数式的比较大小问题，应在充分观察其外在结构特征的基础上，灵活运用相关指数函数或对数函数的单调性解题.

评注 本题侧重考查了指数函数和对数函数的单调性，在比较大小问题中的综合运用，同时还需要关注特殊数字“0”、“1”等的桥梁作用，

类型二 活用单调性，解不等式

分析、解决有关涉及指数式或对数式的解不等式问题时，应注意在适当化简的基础上，将指数函数或对数函数的单调性加以灵活运用，以便顺利求解目标问题，

评注 处理指数不等式（或对数不等式）常用步骤是：化成底数相同的形式，再利用对应指数函数（或对数函数）的单调性.此外，必须关注“对数的真数大于零”这一隐含条件.

类型三 活用单调性.证明恒等式

如果题设条件中涉及指数式、对数式，那么证明有关恒等式时，往往需要考虑指数函数、对数函数，以便灵活构造新函数，并在适当变形的基础上，利用新函数的单调性进行证明.

类型四 活用单调性.求解含参“恒成立”问题

分析、解决涉及指数式或对数式的不等式恒成立问题时，往往需要在分离参数的基础上，灵活利用指数函数或对数函数的单调性进行求解，

评注一 般地，若函数f（x）和g（x）在同一区间A上都是增函数（或减函数），则函数f（x）+g（x）在该区间A上必为增函数（或减函数）.

类型五活用单调性.求解含参“最值”“不等式”问题

处理有关涉及指数函数或对数函数，且含有参数的最值问题或者解不等式问题时，往往需要根据指数函数、对数函数的“单调性”进行灵活分析，有利于迅速求解目标问题.

评注本题求解的关键点有两个：一是由函数f（x）存在最大值，准确判断得到参数a与1的大小关系;二是利用指数函数y=a x（0

类型六活用单调性（涉及复合函数），求参数的取值范围

遇到给定复合函数的单调性，且涉及指数式或对数式问题时，应注意复合函数的单调性法则与指数函数或对数函数的单调性在解题中的灵活、综合运用.

评注 设复合函数y =f[g（x）]的内函数为u=g（x），外函数为y=（u），则有如下规律：如果其中某两个函数的单调性一致，那么另一个函数是增函数：如果其中某两个函数的单调性不一致，则另一个函数是减函数，

类型七活用单调性（涉及抽象函数）.求参数的取值范围

遇到给定抽象函数的奇偶性、单调性，且涉及指数式或对数式的解不等式问题时.应关注抽象函数的性质与指数函数或对数函数的单调性在解题中的灵活、综合运用.

评注 本题求解关键点：一是利用f（x）为偶函数，对题设不等式进行化简、变形;二是利用函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，灵活求解题设不等式，具体求解时，灵活运用对数函数y= 1nx的单调性，有利于帮助我们准确求解参数的取值范围.

总之，关注指数函数和对数函数的“单调性”的常用解题功能，不仅能够帮助提高对所学数学知识和方法的灵活、综合运用能力，而且也能够帮助积累解题经验，提高解题的能力，进而提升学生在数学抽象、数学运算以及逻辑推理方面的核心素养.

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