例谈初中视角下圆的动态问题的解决策略

来源:专题范文时间:2024-03-29 14:38:02

彭丽华

动态几何问题是近几年中考的一个高频考点，如2019年苏州中考数学卷第27题就是动态几何和代数的综合题，此类题目的解题关键就是要先理清是哪一种类型的动态问题，再确定临界条件。本文通过实例分析，对圆的动态问题的解题策略及方法角度进行探究。

为清楚了解学生解决这类题型的疑问和难点，对课堂上例题的错因进行分析，发现未得分学生中，60%是因为审题失误而失分的，因此，对于此类题型，要引导学生明确解题策略，从知识、方法的角度思考问题。

例题（轨迹是圆的动态问题）：如图1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是中点，F则是线段BC上的动点，若将△EBF沿EF所在直线折叠，得到△EB"F，则B"D的最小值为多少？

【解题方法】本题根据圆的定义来确定动态轨迹问题，由动态问题转化到定圆问题。

【解题策略】要按照“整体感知→定临界条件→找基本图形→建立模型→问题解决”的顺序进行数学分析，其中，建立模型还要确定动态图形的始末位置以及找不变化量之间的数量关系。

【例题解析】

（1）整体感知、定临界条件：本题求解的则是动点B"到定点D的最小距离，本题中E为定点，EB"也就是定长。

（2）找基本图形：根据圆的定义可知，动点B"的轨迹就是以E为圆心，EB"为半径的圆弧，如图2。

（3）建立模型、问题解决：根据已知可得到d=DE=，圆的半径r=AE=2，则B"D的最小值为定点D到圆弧的最短距离，为d-r=-2。

还有一类就是动态圆与直线相切时的距离求解问题，如图3所示，∠BAD=30°，已知圆的半径为2，AO=8，若⊙O沿着OD移动直至与AB相切时，求圆心的运动距离。此类题型就需要作常用辅助线，即连接圆心与切点，这种题目需注意的是要分两种情况讨论，即圆在直线的左侧与右侧两类。

若将上图稍作变式，如图4：点P沿AE运动，过点P作圆的切线PQ，则PQ的最小值為多少？那么解题关键则在于将所求转化到OP最短时，也就是OP⊥AE，才能使得PQ最小。

上述实例中不仅应用了转化思想，还充分展示了模型思想在几何问题中的重要性，解题时通过整体感知迅速找到思维的切入点，再通过确定临界条件找到动态的范围，继而根据确定的基本图形来建立模型，问题得以解决。因此，教师要注重引导学生学会提炼数学模型，由此来解决一系列圆的动态问题。

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