铁路隧道二次衬砌可靠度计算方法*

姜高勇 周甲强 王 进 魏中华 张霖波 李 斌

(1.山东省路桥集团有限公司 济南 250014；

2.武汉理工大学交通与物流工程学院 武汉 430063)

目前，采用概率极限状态设计法是土木工程结构设计发展趋势，该方法以可靠度理论为基础，充分考虑结构设计中各因素的不确定性，并在设计表达式中以多个分项系数进行设计。

为提高我国铁路工程结构设计水平，实现铁路工程全寿命周期管理，中国铁路总公司于2018年发布了企业标准：Q/CR 9129-2018《铁路隧道设计规范(极限状态法)》，规定了隧道衬砌结构目标可靠指标；
住建部于2019年颁布了国家标准可靠指标和国家标准GB 50216-2019《铁路工程结构可靠性设计统一标准》，标志着我国铁路隧道设计由容许应力法向可靠度设计方法转轨。

为了对现有方法计算隧道衬砌可靠指标的准确性、可能存在的问题进行分析和验证，本文基于蒙特卡洛法编写隧道衬砌整体失效概率统计程序，将其与验算点法和JC法结果进行对比，并对各计算方法的使用给出建议。进而通过APDL程序直观显示衬砌单元相关结果的云图，如功能函数值、可靠指标、大、小偏心比率等。

铁路隧道可靠度设计的内容主要包括：①随机变量统计特征；
②功能函数及计算；
③可靠指标或失效概率计算方法等3个方面。在随机变量方面，对铁路隧道的荷载、材料参数，以及几何参数等统计特征国内已开展了大量的研究，为铁路隧道可靠度设计提供了数据支撑。

我国铁路隧道衬砌结构有钢筋混凝土衬砌和混凝土衬砌2种，计算其承载能力极限状态的功能函数数值，需要预先确定截面的弯矩、轴力、偏心距、混凝土受压区高度等变量。这些变量没有解析解，需要通过数值计算才能得到。因此，现有研究一般采用随机有限元法[1]研究隧道可靠性，该方法忽略随机变量的相关性，适用于解决不确定性结构非线性问题，其技术路线见图1。

图1 随机有限元概率分析路线图

主要步骤为：首先通过随机变量统计特征进行抽样，接着对每个样本采用荷载结构法计算模型进行有限元计算，得到计算结果，如弯矩、轴力、偏心距等。在此基础上确定随机变量的统计特征(分布类型、平均值、标准差)。根据现有研究的统计结果，假定这些变量均服从正态分布，可根据极限状态方程，采用验算点法计算每个衬砌单元的可靠度。

此外，也可根据抗力(R)和效应(S)的表达式得到R和S的统计特征。根据现有研究的统计结果，假定R服从对数正态分布，S服从正态分布，可采用JC法计算结构的可靠指标并得到结构的失效概率[2]。

这2种方法思路明确，计算效率高，已得到较多的应用，但也具有一定的局限性，主要包括：

1)均需根据随机变量统计特征，假定内力、抗力和效应的分布类型，由此对计算结果产生一定的偏差。

2)以控制截面可靠指标(即可靠指标最小值)作为整个隧道衬砌的结构可靠指标，忽略了失效位置具有不确定性。

3)功能函数所涉及的变量中，偏心距的大、小(大偏心或小偏心)会影响混凝土受压区高度和钢筋应力的计算方法，因此，根据其平均值判断大、小偏心，并计算功能函数的数值欠合理，忽略了衬砌单元的大、小偏心具有不确定性，可能导致一定的误差。

根据不同的围岩环境和跨度设定，铁路隧道二次衬砌类型可采用钢筋混凝土衬砌或素混凝土衬砌施工。二次衬砌的极限状态方程和混凝土矩形截面偏心受压构件正截面承载力极限状态方程相同，其中，钢筋混凝土衬砌截面(见图2)极限状态方程[3]如式(1)，矩形截面偏心受压构件正截面承载力示意图见图2。

图2 矩形截面偏心受压构件正截面承载力示意图

(1)

此外，采用JC法功能函数还可表示为抗力R和效应S的形式，其计算方法见式(2)。

Z=g(R,S)=R-S

(2)

式中：抗力表达式R为

效应表达式S为

根据抽样计算结果，可以得到抗力R和效应S的平均值和标准差，并采用JC法根据对应功能函数式(2)计算截面可靠指标β。

一般认为功能函数符合正态分布，根据截面可靠指标β可得到截面的失效概率Pf，其计算方法见式(3)。

Pf=Φ(-β)=1-Φ(β)

(3)

式中：Φ为正态分布累计分布函数的反函数。

本文以200 km/h客货共线双线铁路隧道复合式衬砌为例，计算二次衬砌在V级围岩浅埋[4-7]情况下的结构失效概率及衬砌单元可靠度。其中，二次衬砌采用C35混凝土，内外侧均采用HRB335钢筋，二次衬砌承受围岩压力的比例为0.7，隧道开挖跨度12.06 m，高度为10.25 m。其中，考虑几何参数的不确定性，隧道设计参数见表1。

表1 隧道配筋参数

根据《铁路工程结构可靠性设计统一标准》推荐的上下限法，确定基本变量统计参数，上下限法计算公式见表2。

表2 上下限法计算公式

V级围岩重度均值、标准差和变异系数确定过程如下所示。

已知V级围岩重度为17～20 kN/m3，x1=17；
x2=20；

则围岩重度均值μ1=(x1+x2)/2=18.5；

围岩重度标准差σ1=(x1-x2)/4=0.75；

围岩重度变异系数δ1=(σ1/μ1)=0.040 5

按照围岩重度统计参数计算方法，计算相关基本变量统计参数，其计算结果见表3。

表3 基本变量统计参数

4.1 数值模型

随机有限元计算采用ANSYS软件建立隧道二次衬砌的荷载-结构模型，采用二维梁单元(Beam3)模拟衬砌，二维杆单元(Link10)模拟围岩对衬砌的约束，其计算模型见图3。

图3 计算模型

4.2 验算点法

根据数值计算结果，得到功能函数所涉及随机变量的统计参数。其中，第82号单元衬砌内力的统计参数见表4。

表4 随机变量统计参数

基于随机变量统计参数和功能函数表达式(式1)，采用验算点法，也称改进一次二阶矩法(AFOSM)，计算每个单元的可靠指标，计算得到所有单元的可靠指标云图如图4所示。

图4 设计验算点法可靠指标计算结果

图4中单元的可靠指标最小值为1.978，位于第82号单元，因此该单元截面为控制截面。可靠指标最大值为6.881，位于第97号单元。衬砌整体可靠指标取最小值β=1.978。

由图4可见，整体上看，衬砌破坏或小偏心破坏的比例接近100%，大、小偏心破坏的不确定性较小。但是隧道衬砌拱肩处单元的大、小偏心出现比例相当，大、小偏心的不确定性较大。例如第59号单元，通过受压区高度均值判断其为小偏心受压破坏。然而，在蒙特卡洛抽样统计中，小偏心破坏出现28 300次，仅占总抽样的56.6%，另外还有21 700次大偏心破坏。这说明将受压区高度均值作为大、小偏心破坏判断依据，会忽略大、小偏心的不确定性。尤其是当隧道处于复杂地质条件时，如受偏压作用、构造应力作用时，对计算结果的影响将更大。

为了探究衬砌单元大、小偏心破环的具体分布情况，对抽样过程的大、小偏心出现的次数进行统计，大、小偏心占比分布结果显示见图5。

图5 大、小偏心占比

图5结果表明，对于大部分单元，大偏心状态占比较大时，大、小偏心的不确定性会进一步加大，导致计算结果出现偏差。

4.3 JC法

为了克服验算点法的不足，可以在每次有限元计算结束时，通过得到的内力等变量提前判断单元的大、小偏心，并通过抗力和作用的表达式，计算抗力和作用的具体数值，从而得到其统计特征，其计算结果见图6。

图6 控制截面抗力和作用统计特征

由图6可见，抗力比较符合对数正态分布，作用比较符合正态分布。

根据抗力和作用统计参数，采用JC法计算得到的单元可靠指标，其范围为1.47～9.15，最小值出现在拱顶(第83号单元)，与验算点法控制截面为相邻单元，但可靠指标最小值为β=1.47，明显小于验算点法控制截面的结果。

由于每次抽样计算时，均利用内力等变量判断了大、小偏心，因此该方法不受大、小偏心不确定性的影响，计算结果理论上比验算点法更为可靠。但是，该方法假定抗力为对数正态分布，作用为正态分布，由图6可知，这与实际情况有一定的差别，并由此造成计算结果的偏差。

4.4 蒙特卡洛法

为了分析并验证以上2种方法的准确性和可能存在的问题，本研究通过APDL编程，基于蒙特卡洛模拟，直接统计单元失效次数和衬砌整体失效次数。其实现方法为，在每次抽样计算时，通过内力等变量判断功能函数的数值，并定义一个状态变量，若功能函数值小于0，则将该单元的状态变量赋值为“1”，即失效一次。每次计算完成后，将各个单元的状态变量数值相加，如为0，说明所有单元均未失效，否则(即大于0)，则至少有一个单元失效，可判断整个衬砌结构失效1次。为保证计算精度，蒙特卡洛法[19]建议样本容量必须满足N≥100/Pf。即失效样本数量NPf应大于等于100。

通过试算，本例抽样50 000次，可以满足精度要求。得到V级围岩浅埋情况下，车速200 km/h双线隧道结构整体的失效概率为Pf=0.011 88。

由此得到隧道二衬衬砌结构整体可靠指标β=-Φ-1(0.011 88)=2.261 0。

根据随机有限元生成的“pdrs”的文件，可以查找每次抽样基本变量的输入值与计算得到的内力结果。在此基础上，可统计各单元失效次数，其计算结果见表5。

表5 单元失效次数

经统计，控制截面失效次数579次，结构整体失效次数594次。说明所有抽样中，有15次是非控制截面失效。常见的失效位置(即功能函数值小于0)主要出现在拱肩、边墙和拱肩等处。其中，某个非控制截面失效时的单元功能函数值云图见图7。

图7 某非控制截面失效时单元功能函数值云图

以上结果说明了在抽样计算过程中，隧道二次衬砌的失效位置存在不确定性。一般情况下，隧道主要承受较大的竖向压力，因此拱顶处产生的弯矩较大，容易达到承载能力极限状态，控制截面的失效次数可能比较接近整体衬砌的失效次数。

特别地，对于承受较大水平压力或地基反力的隧道，其边墙或拱脚等位置也可能产生较大的弯矩，从而达到极限状态。或者，当隧道处于复杂的地质条件时，如受偏压作用、构造应力作用或附近有建筑物或构造物时，失效位置的不确定性也可能进一步加大，从而导致计算结果不准确。

4.5 结果对比及分析

4.5.1结果对比

图8为3种可靠度计算方法得到的控制截面失效概率对比。

由图8可见，采用蒙特卡洛法得到的衬砌整体失效概率为0.011 88，控制截面失效概率为0.011 58，两者比较接近。验算点法得到控制截面失效概率为0.023 9，JC法得到的失效概率为0.069 9，两者蒙特卡洛法计算结果差别较大。其中JC法虽然避免了大、小偏心不确定性的影响，但由于其假定的抗力和作用的分布与实际分布有一定的偏差，其计算结果的准确性反而低于验算点法。

4.5.2适应分析

由上可知，蒙特卡洛法的计算结果最为可靠，对于可靠指标不大的结构，直接计算结构整体失效概率能够直观快速地反映结构完成预定功能的能力。但对可靠指标较大的结构，需进行大量的抽样计算才能满足精度的要求，耗时较长。

表6给出了不同铁路隧道可靠指标计算所需的抽样次数和计算时间。

表6 不同可靠指标的计算时间

由表6可见，当结构可靠指标在3左右时(失效概率为0.001)，抽样次数为100 000次，计算时间在8 h左右。而当失效概率下降一个数量级时，抽样次数变成10倍，需要3 d以上才能完成1次蒙特卡洛计算。

对于隧道结构，当可靠指标较小时，精度不足导致的偏差可能直接影响设计参数的选择。为了兼顾计算结果的准确性和计算效率，建议首先采用验算点法和JC法同时计算衬砌可靠指标，当控制截面可靠指标低于3.5时，再用蒙特卡洛法进行验证。当可靠指标大于3.5时，结构失效概率较小，对计算精度允许情况下，可以直接取验算点法和JC法两者中较低值作为结构可靠度的近似值。

本文以某铁路双线隧道为例，利用ANSYS 中PDS模块的抽样计算功能，编写了蒙特卡洛法隧道衬砌单元和整体失效概率计算方法，并将其与验算点法、JC法的计算结果对比。通过以上研究，得到结论如下。

1)验算点法和JC法需分别假定截面内力、抗力和效应的分布类型，与实际抽样结果的分布不完全一致，由此可能导致计算结果出现一定的偏差。

2)验算点法和JC法均以控制截面的可靠度作为整个结构的可靠度，忽略了失效位置的不确定性。一般情况下，隧道主要承受较大的竖向压力，因此拱顶处产生的弯矩较大，容易达到承载能力极限状态，控制截面的失效次数和整体失效次数相当，误差不大。但是，对于承受较大水平压力或地基反力的隧道，其边墙或拱脚等位置也可能产生较大的弯矩，从而达到极限状态。或者，当隧道处于复杂的地质条件时，如受偏压作用，构造应力作用，或附近有建筑物或构造物时，失效位置的不确定性也可能进一步加大，从而导致计算结果不准确。

3)验算点法根据受压区高度均值作为大、小偏心破坏判断依据，并用统一的功能函数计算可靠度，忽略了单元大、小偏心存在的不确定性。本文算例表明，拱肩处单元抽样计算结果的大、小偏心出现频率相当，但在验算点法中，只能采用小偏心及其对应的功能函数进行计算，容易造成误差。当隧道处于复杂地质条件时，大、小偏心的不确定性可能进一步加大。

4)蒙特卡洛法可直接统计每个单元和整体衬砌的失效次数，其计算结果不受失效位置不确定性和大、小偏心不确定性的影响，也不需假定抗力和作用的分布类型，计算结果最为可靠，但是，其计算时间较长。

为提高计算效率，建议首先采用验算点法和JC法同时计算可靠指标，当可靠指标低于3.5时，用蒙特卡洛法进行验证。当可靠指标大于3.5时，结构失效概率较小，计算精度允许的情况下，可以取验算点法和JC法的较低值作为结构可靠度的近似值。

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