高等代数里线性空间理论在一元多项式中的若干应用

赵 静， 刘合国

(1.湖北大学 数学与统计学学院，武汉 430062；

2.海南大学 理学院, 海口 570228)

从其起源和本质等方面说，高等代数是关于线性空间及其线性变换的理论.不少长期从事高等代数教学的老师们提到，他们在进行硕士研究生面试时，常常要求考生准确复述线性空间(向量空间)的定义，但是结果并不理想.这个现象是值得从事高等代数教学的老师深思的！像线性空间这样抽象的代数概念，代表抽象思维的普适性真理，乃无数人的心血才智结晶而来.线性空间的概念朴实无华，初学之下，它显得十分笨拙，让初学者茫然无序.然而，深思熟虑之后，当能觉悟线性空间这个概念确实透过复杂的现象抓住了本质，由繁入简，走出了一条康庄大道.古人面对人世间的种种现象，感叹“大智若愚，大巧若拙”.高等代数，乃至代数学里的不少经典概念应该属于这个范畴吧.

本文拟运用线性空间理论的一些基础知识处理一元多项式中的几个问题，其中某些解题思路在经过适当修饰之后可应用于多元多项式.为突出主线，本文仅考虑一元多项式的情况.

在本文里，n表示一个正整数，F表示一个域.F[x]表示F上一元多项式构成的集合，它是F上的一个无限维线性空间，同时它也是一个欧几里得整环，也就是说，F[x]是F上的一个无限维代数.Fn[x]表示F上次数小于n的一元多项式构成的集合，Fn[x]是F上的一个n维线性空间.

本文采用的术语是标准的，按照文献[1].

对于域F上的线性空间V，V的维数是不变量, 也就是说,F上的两个线性空间同构当且仅当它们的维数相等, 于是V的维数就抽象地确定了其代数结构.虽说V的任意两组基底都是等价的, 但V的不同基底能够帮助我们从不同的侧面来理解V的具体特征, 选择合适的基底对解决问题是大有益处的.

2.1 借用维数处理整除性问题

熟知，对于F[x]中任意两个多项式f(x)与g(x)，当g(x)≠0时，一定存在F[x]中的多项式q(x),r(x)，使

f(x)=q(x)g(x)+r(x)，

其中∂(r(x))<∂(g(x))或者r(x)=0，并且这样的多项式q(x),r(x)是唯一的.这个看似简单的事实是一元多项式理论的基本出发点.

例1对于F[x]中的一个非零多项式f(x)，在F[x]中存在多项式g(x)，使得

f(x)g(x)=a2x2+a3x3+a5x5+…+apxp，

其中2,3,5，…,p是素数，a2,a3,a5，…,ap是F的不全为零的元素.

证不妨设f(x)的次数为n，其中n>0.取n+1个互异的素数2,3,5，…,p，并记f1(x)=x2，f2(x)=x3，f3(x)=x5,…,fn+1(x)=xp.令

f1(x)=q1(x)f(x)+r1(x),

f2(x)=q2(x)f(x)+r2(x),

f3(x)=q3(x)f(x)+r3(x),

…

fn+1(x)=qn+1(x)f(x)+rn+1(x),

(1)

其中ri(x)的次数小于n，这里i=1,2，…,n+1.因为r1(x),r2(x)，r3(x)，…,rn+1(x)均属于Fn(x)，所以它们在F上线性相关，即存在n+1个不全为零的元素a2,a3,a5，…,ap，使得

a2r1(x)+a3r2(x)+a5r3(x)+…+aprn+1(x)=0，

将(1)式代入计算可得

f(x)[a2q1(x)+a3q2(x)+a5q3(x)+…+apqn+1(x)]

=a2f1(x)+a3f2(x)+a5f3(x)+…+apfn+1(x)

=a2x2+a3x3+a5x5+…+apxp.

例2设f(x)是F[x]的一个n次多项式.证明存在F的不全为零的元素a0,a1，…,an，使

f(x)|a0x20+a1x21+…+anx2n.

证对每个0≤i≤n，记

x2i=qi(x)f(x)+ri(x)，

(2)

其中ri(x)的次数小于n.这些ri(x)在F上线性相关，即存在不全为零的元素a0,a1，…,an，使

a0r0(x)+a1r1(x)+…+anrn(x)=0.

将(2)式代入计算可得

a0x20+a1x21+…+anx2n=f(x)(a0q0(x)+a1q1(x)+…+anqn(x)).

例3设f(x)是F[x]的一个非零多项式.证明

(i)存在F[x]的非零多项式k(x)和u(x)，使得f(x)k(x)=u(x2)；

(ii)存在F[x]的非零多项式l(x)和v(x)，使得f(x)l(x)=v(x3)；

(iii)存在F[x]的非零多项式m(x)和w(x)，使得f(x)m(x)=w(xn)；

(iv)对于F[x]的任意非常数多项式φ(x)，在F[x]中存在非零多项式g(x)和h(x)使

f(x)g(x)=h(φ(x)).

证显然只需证明(iv)即可.设f(x)的次数等于n，对每个0≤i≤n，记

φi(x)=qi(x)f(x)+ri(x)，

(3)

其中ri(x)的次数小于n.这些ri(x)在F上线性相关，即存在不全为零的元素a0,a1，…,an，使

a0r0(x)+a1r1(x)+…+anrn(x)=0.

将(3)式代入计算可得

a0φ0(x)+a1φ1(x)+…+anφn(x)=f(x)(a0q0(x)+a1q1(x)+…+anqn(x)).

从表面上看，上述3个问题的解法清晰自然，仅仅涉及到一元多项式的带余除法，以及n维线性空间V的基本事实:V的任意n+1个向量线性相关，维数在解题过程中起了决定性作用.不过，只有在充分理解线性空间理论后，才能找到这个解法.如果把思想局限在多项式理论范围内，即使找到解决这几个问题的方法，其步骤也不会像本文这样一目了然.

2.2 线性空间对Lagrange插值公式的应用

插值法是中国古代数理天文学中的重大成就.它是一个基本的数学技术，在理论和应用等方面都具有重要的意义.例如，在处理高等代数的不少问题中，Lagrange插值公式起了重要的作用.如果从向量空间的角度来看，这个结论是能够自然地呈现出来的.

Lagrange 插值公式设a1,a2，…,an是F的n个两两互异的元素，对F的任意n个元素b1,b2，…,bn，存在唯一一个次数小于n的多项式L(x)，使得L(ai)=bi，1≤i≤n.

进一步地

下面从线性空间的角度用三种不同的方法来处理这个问题.

方法一对每个1≤i≤n，记

这些Li(x)在F上线性无关.事实上，若k1,k2，…,kn∈F，使得

k1L1(x)+k2L2(x)+…+knLn(x)=0，

则令x=ai，即可得kiLi(ai)=ki=0.因此，这些Li(x)组成Fn[x]的一组基底.

对F[x]的次数小于n的任意多项式f(x)而言，f(x)可唯一地表示为

f(x)=y1L1(x)+y2L2(x)+…+ynLn(x)，

在上式中令x=ai可得f(ai)=yi，进而

f(x)=f(a1)L1(x)+f(a2)L2(x)+…+f(an)Ln(x).

值得指出的是，L1(x),L2(x)，…,Ln(x)是完全独立于具体的多项式f(x)的.上式表明：只要知道了f(x)在a1,a2，…,an处的值，就可以由这n个多项式L1(x),L2(x)，…,Ln(x)立即线性地组合出f(x)的准确表达式.从这个意义上说，L1(x),L2(x)，…,Ln(x)确实是Fn[x]的一组非常理想的基底.

现在L1(x),L2(x)，…,Ln(x)是Fn[x]的基底，且L(x)=b1L1(x)+b2L2(x)+…+bnLn(x)的确满足L(ai)=bi，1≤i≤n.若存在另一个g(x)∈Fn[x]，使得g(ai)=bi，则有

g(x)=g(a1)L1(x)+g(a2)L2(x)+…+g(an)Ln(x)

=b1L1(x)+b2L2(x)+…+bnLn(x)=L(x).

至此，完成了结论的证明.

同构的观念在处理代数学的各种结构时都是非常有效的.F上的两个线性空间同构当且仅当它们的维数相等，这是一个众所周知的基本结论.在高等代数教学中，很少运用抽象的同构去处理具体的问题，这无疑是教学里的一个薄弱环节，值得警惕.

方法二记Fn={(x1,x2,…,xn)|xi∈F}.显然Fn[x]和Fn都是F上的n维线性空间，下面构造一个从Fn[x]到Fn的同构，由此导出Lagrange 插值公式.

对F上两两互异的元素a1,a2，…,an，建立映射

α:Fn[x]→Fn，f(x)→(f(a1),f(a2),…,f(an))，

容易验证α是线性的.任取f(x),g(x)∈Fn[x]及k∈F，有

α(f(x)+kg(x))=(f(a1)+kg(a1),f(a2)+kg(a2),…,f(an)+kg(an))

=(f(a1),f(a2),…,f(an))+k(g(a1),g(a2),…,g(an))

=α(f(x))+kα(g(x)).

再证α是单的.若h(x)∈Ker(α)，即

α(h(x))=(h(a1),h(a2),…,h(an))=0，

此时h(a1)=h(a2)=…=h(an)=0，a1,a2，…,an都是h(x)的根，注意到h(x)∈Fn[x]，必须h(x)=0，由此得到α是Fn[x]到Fn的一个同构.

现在，对F的任意n个元素b1,b2，…,bn而言，因(b1,b2,…,bn)∈Fn，则在Fn[x]中存在L(x)使α(L(x))=(b1,b2,…,bn).即

(L(a1),L(a2),…,L(an))=(b1,b2,…,bn).

这意味着L(ai)=bi，1≤i≤n.

最后，需要求出L(x).注意到

(b1,b2,…,bn)=b1e1+b2e2+…+bnen，

其中e1,e2，…,en是Fn的标准基底.设α(Li(x))=ei，即

(Li(a1),Li(a2),…,Li(ai),…,Li(an))=ei，

经过直接验算，可得

从而L(x)=b1L1(x)+b2L2(x)+…+bnLn(x)为所求多项式.

从Fn[x]的基底入手，可以从另一个角度来解决插值问题.

方法三(“差分”解法)经过简单直接的验证，可知

1,(x-a1),(x-a1)(x-a2)，…,(x-a1)(x-a2)…(x-an-1)

是Fn[x]的一组基底，Fn[x]的任意元素f(x)可唯一地表示为

f(x)=y01+y1(x-a1)+y2(x-a1)(x-a2)+…+yn-1(x-a1)(x-a2)…(x-an-1).

运用条件f(ai)=bi，分别以x=a1,a2，…,an-1,an代入上式.即可解出

其它y3,y4，…,yn-1都可利用相同的方法逐步解出来.

下面用差分的方法来重新求解[1]里的一道习题.

例4(i)一个次数小于4的多项式f(x)满足条件：f(2)=3,f(3)=-1,f(4)=0,f(5)=2，求f(x)；

(ii)求次数尽可能低的多项式f(x)，使得f(0)=1,f(1)=2,f(2)=5,f(3)=10.

解(i)显然1,(x-2),(x-2)(x-3),(x-2)(x-3)(x-4)是F4[x]的一组基底，从而F4[x]的任意元素f(x)可表示为

f(x)=y0+y1(x-2)+y2(x-2)(x-3)+y3(x-2)(x-3)(x-4).

其中系数y0,y1,y2,y3是被多项式f(x)和基底1,(x-2),(x-2)(x-3),(x-2)(x-3)(x-4)唯一确定的.下面分别将x=2,3,4,5代入上式可得

由此得到

(ii)显然1,x,x(x-1),x(x-1)(x-2)是F4[x]的一组基底，从而f(x)可表示为

f(x)=y0+y1x+y2x(x-1)+y3x(x-1)(x-2).

其中系数y0,y1,y2,y3是被多项式f(x)和基底1,x,x(x-1),x(x-1)(x-2)唯一确定的.下面分别将x=0,1,2,3代入上式可得

y0=1,y1=1,y2=1,y3=0.

由此得到

f(x)=1+x+x(x-1)=x2+1.

插值是一种基本的数学思想.Lagrange 插值公式与时常出现的Vandermonde行列式关系密切，例如见文献[2]，它具有广泛的应用，例如文献[3]就用它来计算一些看似繁难的行列式.文献[4-6]比较系统地考察了数学基础课里的中国剩余定理和Lagrange 插值公式，不论是从内容还是从形式上看，Lagrange 插值公式和中国剩余定理都是一脉相承的，可以说中国剩余定理是更一般化的插值.

2.3 两个进一步的例子

上一节涉及到用差分求解多项式插值，现在给出两个进一步的例子.

例5设次数不超过n的多项式f(x)满足f(k)=2k，k=0,1，…,n.求f(n+1).

解显然1,x,x(x-1)，…,x(x-1)…(x-(n-1))是Fn+1[x]的一组基底，从而f(x)可表示为

f(x)=y0+y1x+y2x(x-1)+…+ynx(x-1)…(x-(n-1))，

其中系数y0,y1，…,yn是被多项式f(x)和基底1,x,x(x-1)，…,x(x-1)…(x-(n-1))唯一确定的.下面将x=0,1，…,n分别代入上式中，结合条件f(k)=2k，可得

由此得到

因此

例6设f(x)是次数不超过2n的多项式.f(x)除以x(x-2)…(x-2n)余1，f(x)除以(x-1)(x-3)…(x-(2n-1))余-1，求f(x).

解由条件可知f(0)=f(2)=…=f(2n)=1，f(1)=f(3)=…=f(2n-1)=-1.注意到1,x,x(x-1)，…,x(x-1)(x-2)…(x-(2n-1))是F2n+1[x]的基底，从而f(x)可表示为

f(x)=y0+y1x+y2x(x-1)+…+y2nx(x-1)(x-2)…(x-(2n-1))，

其中系数y0,y1，…,y2n是被多项式f(x)和基底1,x,x(x-1)，…,x(x-1)(x-2)…(x-(2n-1))唯一确定的.下面分别将x=0,1，…,2n代入上式中，可得

由此得到

注 在求解Lagrange 插值问题时，前面提到了两个方法.其一，运用

L(x)=b1L1(x)+b2L2(x)+…+bnLn(x)，

当然L(x)就是所求的多项式.其二，运用差分逐步求解，这个方法看似繁杂，实则直接了当，它用归纳的思路通过提高多项式的次数来达到预期目标，其求解过程是能够用数学归纳法实现的.

非常明显，直接运用Lagrange插值公式来求解例6是不合适的.这足以说明利用线性空间理论解题时，寻求合适的基底是一件重要的事情.

本文的思考方式和解题方法是概念性的，在某种意义上具有示范性作用，例如，运用本文的思想也能够处理多元多项式里面的一些相似问题.其实，域F上的n元多项式全体F[x1,x2,…,xn]构成F上的一个线性空间V，对任意自然数m，V的次数小于m的元素形成一个有限维子空间W，根据W的维数，并适当选择W的基底，可以利用线性空间理论来解决问题(注意：对确定的较小的n，可以实际操作；
对一般的n，可以在理论上证明存在性，因为确定W的维数表达式不是一件容易的事情，它涉及到整数分拆的计数问题)，这留给读者继续研究和探索.

在高等代数乃至代数学的教学中，学生们运用基本概念和结构定理进行思考的训练是远远不够的.由于课时紧缺、实用主义泛滥等等缘故，许多高校特别是非研究型高校的学生在学习代数类课程时，对基本概念的有效性和结构定理的深刻性缺乏充分的认识.其实，代数学里的经典概念和结构定理都是经过千锤百炼而来，是无数天才苦苦奋斗的结晶.可惜，许多学生都错过了这类锻炼，入宝山而空回！

数学大师Hilbert在1900年巴黎国际数学家大会上的著名演讲《数学问题》的结尾处掷地有声地说：“数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着，这些工具和方法同时会有助于理解已有的理论并把陈旧的、复杂的东西抛到一边.数学科学发展的这种特点是根深蒂固的.”

无疑，这段话对普通的数学教育工作者也是具有警示作用的，教师要花大精力引领学生，学生才能取得真正的进步，或许从事数学教学本来就不是一件容易的事.

致谢作者衷心感谢浙江大学李慧陵教授、北京大学王杰教授和张继平教授的鼓励和肯定，以及审稿专家的中肯意见！

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