一类带有未知控制方向的非线性系统的模糊自适应事件触发容错控制

阎 岩, 武力兵, 赵楠楠, 张瑞艳

(1. 辽宁科技大学理学院，鞍山 114051; 2. 辽宁科技大学电子与信息工程学院，鞍山 114051)

在控制系统中，系统的执行器、传感器等部件经常会发生各种故障，从而导致系统的不稳定以及性能的恶化。因此，自适应容错控制方法的研究受到了更多的关注。在文献[1]中，针对一类带有执行器故障和外部扰动的不确定线性系统研究了鲁棒自适应容错控制补偿问题。同时，通过设计自适应容错控制器以及合适的自适应律保证了系统状态渐近收敛于零。在文献[2]中，研究了带有执行器故障和时滞的不确定切换非仿射非线性系统的自适应容错控制问题。文献[3]则对一类带有未知死区的不确定非线性大系统，提出了自适应容错控制研究方案。伴随着模糊理论的发展，模糊自适应容错控制的研究也越来越广泛[4–5]。

1999 年，˚Astr¨om 等人发表了两篇关于事件触发的文章[6–7]，这也激起了众多学者对事件触发控制研究的热情。传统的触发技术，主要是以周期触发形式进行数据采样，该方法会导致不必要的资源浪费，控制器更新频率以及计算负担。而事件触发控制是根据设计的触发机制对所采样的数据是否传输进行判断，只有符合所设定的条件时数据才会被传输。文献[8]针对一类不确定非线性系统设计了三种不同策略的事件触发控制方法，文献[9]研究了一类带有执行器故障不确定非线性系统的事件触发控制问题，文献[10]将事件触发与模型预测控制相结合来研究无人驾驶汽车的路径跟随问题。Fan 和Wang 两人针对一类多输入T-S 模糊系统，研究了事件触发滑模控制问题[11]；
之后，他们对一类带有外部扰动的线性系统，研究了事件触发积分滑模控制器的设计问题[12]。就目前的研究成果来看，如何设计自适应事件触发容错控制器是本文的研究难点。

基于以上考虑，本文研究一类带有执行器故障和控制方向未知非线性系统的模糊自适应事件触发容错控制问题。主要是利用反步法[13]与模糊理论相结合，设计出自适应事件触发容错控制器。在本文所考虑的非线性系统中：

1) 与文献[8—9]研究的系统相比，本文所考虑系统中的非线性函数是完全未知的；

2) 未知控制系数是一个有界的实函数而不是简单的常数；

3) 与文献[9]相比较，本文在控制器的设计中引入了Nussbaum 函数[14]，避免了符号函数带来的抖振现象。

1.1 非线性系统

考虑如下的非线性系统

其中

¯xn ∈Rn, u ∈R 和y ∈R 分别是系统状态变量、控制输入和输出；
fk(¯xk)和g(¯xn)是未知的非线性函数；
dk(t)表示外部扰动。

所考虑的执行器故障模型如下

其中υ表示实际的控制信号；
ρ和γ(t)分别表示执行器故障因子和有界函数，且存在γ∗>0，使得|γ(t)|≤γ∗。

最后，联立式(1)和式(2)，系统可被重新表示为

控制目标：设计自适应事件触发容错控制器Γ(t)和相应的自适应更新律，确保所有的闭环信号一致最终有界，且系统的跟踪误差能收敛到原点的一个小邻域内。

1.2 基本假设及引理

假设1 假设外部扰动dk(t)是连续有界的，即存在一个正的常数δk，使得|dk(t)|≤δk, k=1,2,··· ,n。

引理3[18]在[0,ts)上定义两个光滑函数η(·)和V(·)，且V(t)≥0, ∀t ∈[0,ts)。如果N(η)为光滑的Nussbaum 函数，则有

这里p和q是正常数；
g(t)∈[m1,m2]是一个变量，m1和m2是常数，且满足0m2>m1，则V(t)和η(t)在[0,ts)上仍保持有界。

引理4[19]f(X)是定义在紧集ΩX ⊂Rn上的连续非线性函数，存在一个对应的FLSW(X)=QTG(X)，使得

这里的ΩX和ΩQ均是紧集。因此，非线性函数f(X)可以重写为

其中|ω(X)|≤ω∗，ω∗>0 为期望的误差精度。

2.1 自适应事件触发容错控制器设计

首先，假设参照信号yr和它的导数y(k)r(k= 1,2,··· ,n)是有界的且分段连续，跟踪误差定义如下

其中N(ϱ)=ϱ2cos(ϱ)是Nussbaum 函数，p>0 是正的常数。

控制信号和事件触发机制如下

其中e(t)=Γ(t)−υ(t)为测量误差，用于确定事件触发的瞬间。阈值ε是一个正的常数，其中0<|¯b|ε ≤¯ε。tk(k ∈Z+)表示输入更新时间，当事件触发机制被触发时，时间将被立即标记为tk+1，并且控制信号υ(tk+1)将应用到系统当中。需要注意的是，控制信号在t ∈[tk,tk+1)中保持为常数Γ(tk)。

构造下面的Lyapunov 函数

然后在间隔时间[tk,tk+1)中，从式(37)，我们得到|Γ(t)−υ(t)|≤ε。因此，存在一个连续时变参数θ(t)满足θ(tk) = 0, θ(tk+1) =±1，并且|θ(t)|≤1, ∀t ∈[tk,tk+1)，使得Γ(t)=υ(t)+θ(t)ε。考虑到这一点，我们有

从引理2 中，我们得出−mtanh(m/p)≤ϑp −|m|，并将其代入到式(40)中，有

可以得到

相应地，复合函数

定理1 对于不确定非线性系统(1)，在满足已知假设条件下，所设计的自适应事件触发容错控制器以及自适应参数更新律能够保证闭环系统的所有信号一致有界且跟踪误差收敛到原点的一个小邻域内。同时，存在常数t∗>0，使得对任意的k ∈Z+，内部执行时间{tk+1−tk}≥t∗。

2.2 稳定性分析

将引理3 应用到式(51)中，我们可知Vn(t)、ϱ和zk(k=1,2,··· ,n)均是有界的。由式(12)可知，x1,ϕ1,··· ,xn,ϕn有界。从式(33)∼(35)，我们可以得到Γ(t)和˙ϱ是有界的，即闭环系统的所有信号一致有界。

此外，为了避免Zeno 现象，我们要证明存在常数t∗> 0，使得对任意的k ∈Z+，内部执行时间间隔{tk+1−tk}≥t∗。根据e(t)=Γ(t)−υ(t)，可以得到

由式(33)和式(34)可知，Γ(t)是可微的且˙Γ(t)中所有的闭环信号都一致有界。因此，存在常数µ> 0，满足| ˙Γ(t)|≤µ。由e(tk) = 0 和limt→tk+1e(t) =ε，可知存在间隔时间t∗满足t∗≥ε/µ，从而有效地避免了Zeno 行为。

给出如下非线性系统

其中

参照信号选作yr=0.8 sin(t)，取以下隶属函数和模糊基函数

系统在第10 秒发生故障

仿真参数取作ξ1= 100, ξ2= 10, α1= 5, α2= 8, ς= 0.1, p= 30, ε= 0.12,¯ε=10, ϖ= 6，初始条件[x1(0),x2(0),ˆχ(0),ϱ(0)]T= [0,0.5,5,0.2]T，仿真结果如图1 至图6 所示。

从图1 和图2 可以看出，系统的输出能够有效地跟踪参照信号yr且控制输入信号发生故障后系统仍能保持稳定状态。图3 展示了自适应律ˆχ和ϱ的曲线。图4 和图5 表示控制输入信号和事件触发时间间隔，在20 秒内，事件触发控制器触发次数为1 406 次。图6 为将本文控制方法与参考文献[8]中基于固定阈值法的事件触发控制方法对比所得到的仿真结果，通过调整参数系统可以达到稳定状态，但触发次数高达1 758 次。很明显，本文所设计的自适应事件触发容错控制方案效果更好。

图1 系统输出y 和参照信号yr 的响应曲线

图2 跟踪误差z1 的响应曲线

图3 自适应律ˆχ 和ϱ 的响应曲线

图4 控制输入信号υ 和Γ 的响应曲线

图5 事件触发时间间隔

本文针对一类带有执行器故障的非线性系统，研究了模糊自适应事件触发容错控制问题。利用反步法，设计出自适应事件触发容错控制器以及相应的自适应律。同时，给出的事件触发机制有效地减轻了计算负担。通过Lyapunov 函数稳定性分析，保证了所有闭环信号在给定的紧集内一致最终有界。最后，通过仿真算例验证了本文所提出自适应事件触发容错控制方法的有效性。

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