直流电弧生长的半径扩散模型及特性分析

和志文，朱翔鸥，王 玲，孙 创

(温州大学电气与电子工程学院，浙江温州 325035)

电弧是电力系统、焊接、照明、冶金等领域研究的重要课题之一，特别是在开关电器中，电器开断时产生的高温电弧很容易烧毁电触头，这会严重影响开关电器的可靠动作和快速分断，破坏电气绝缘，甚至引发电气火灾．为了掌握电弧在形成、稳定燃烧以及熄灭过程中的特性和机理，国内外学者对电弧的物理特性和机理过程进行了广泛研究，并取得了相应的成果[1-3]．文献[1]分析了直流电弧运动过程中重击穿的形成机理，并通过仿真研究了温度对重击穿的影响；
文献[2]研究了垂直型输电线路在火焰中燃烧时发生闪络放电的现象与机理；
文献[3]探索了棒棒气隙施加高压产生直流电弧的机理，并通过高速摄像机拍摄电弧颜色分析了直流电弧的宏观特性．也有学者在理论建模方面取得了阶段性成果，通过建立相应的电弧模型对电弧特性进行了研究[4-6]．文献[4]利用安全火花试验装置进行电感分断放电实验，提出了电感分断电弧放电的电阻指数模型；
文献[5]建立了直流电弧的数学模型，分析了电源电压、电源电流和极间距离对直流电弧特性的影响；
文献[6]建立了火焰燃烧间隙放电模型，研究了火焰燃烧条件下导线-板间隙击穿特性．环境会影响电弧的行为，一些学者通过搭建实验平台，研究了特定情景下的电弧动态特性[7-9]．文献[7]搭建实验平台模拟了直流电源系统中的电弧，测量了直流电弧的伏安特性曲线，并分析了电极直径、电极分离速度等因素对电弧发展过程的影响；
文献[8]搭建了直流开断实验平台，测试了气体介质和充气压强对燃弧过程的影响；
文献[9]设计了密闭的故障电弧发生器，测试并分析了电弧电流、电极材料和极间距离等对电弧辐射能量的影响．

综上所述，当前对电弧的研究主要针对的是电弧的稳定燃烧过程和电弧的熄灭过程，电弧的形成过程很少被关注和研究．本文将直流电弧产生后电流由小变大最终达到稳定状态的过程称为电弧生长，电弧生长是电弧形成过程的关键环节，因此，研究电弧生长的数学模型和动态特性对掌握电弧形成的机理具有重要意义．

目前，关于直流电弧生长的数学模型和动态特性的研究少有报道．本文考虑热传导和热辐射对电弧半径的影响，对Mayr电弧模型进行改进，给出了一种电弧半径扩散模型，改进后的电弧模型能够反映电弧生长时电流的变化情况．在MATLAB / Simulink仿真环境下模拟电弧的生长过程，在此基础上，通过仿真和实验手段对电弧模型进行验证，对比分析仿真与实验波形，验证了电弧半径扩散模型的可行性和准确性．此外，还通过实验分析了电弧生长时的动态伏安特性，通过仿真探索了电路参数对电弧电流的影响．

Mayr电弧模型[10]是基于黑盒建模方法建立的，不考虑电弧内部复杂的物理机理，直接从外特性的角度描述电弧．Mayr认为电弧呈圆柱形，其直径保持不变，通过热传导和热辐射向外散发能量，且散发的能量是常数，Mayr电弧模型可以表示为：

其中，g为电弧电导；
u为电弧电压；
i为电弧电流；
sP为散发功率，是一个常量；
τ为时间常数．

通过观察电弧的形态，发现电弧形成初期的半径很小，弧光较弱，在极短的时间内电弧半径不断变大，弧光显著增强，如图1所示．因此，电弧生长时不仅电流在变大，电弧半径也在发生改变，且其释放的能量不断增加，最终达到稳定燃烧状态．电弧可以看作是一个纯电阻的发热元件，其热量通过热传导、热辐射和热对流3种方式向周围的介质散发．电弧生长速度很快，不考虑对流造成的能量流失，其主要是通过热传导和热辐射散热．电弧生长时，一方面通过加热电极来维持电极表面的电子发射，另一方面对周围的空气介质进行加热，使其电离产生更多的带电粒子，因此，电弧在生长时对电极和空气都进行热传导散热．

图1 电弧形成初期与稳定燃烧时期的图像对比

本文从电弧的能量平衡出发，考虑热传导和热辐射对电弧半径的影响，在Mayr电弧模型的基础上进行改进，给出一种电弧半径扩散模型．作如下假设：

1）电弧初始是一个半径为0r、长度为l的圆柱形气流通道；

2）在电弧生长时，电弧的电流密度为恒定值，半径随电流的增大而增大，但是其表面温度始终保持6 000 K不变，呈现出向外扩散的形态；

3）弧长为弧柱长度，且电弧电压与弧长成正比；

4）在电弧生长时，电弧的散发功率是变化的，通过电极热传导、空气热传导以及热辐射的方式向周围介质散发能量，且散发功率与电弧半径和弧长相关．

满足以上假设条件后，电弧向外散发的功率sP由电极热传导功率Pcd1、空气热传导功率Pcd2以及热辐射功率Pfs构成：

电弧是一个圆柱形气流通道，其对电极的加热主要在近极区，因而弧柱长度不会对电极热传导功率造成影响，同时考虑不同材料电极的热导率不同，则电弧对电极的热传导功率Pcd1为：

其中，hr为电弧半径；
hT为电弧表面温度；
1λ、2λ分别为两个电极的热导率；
0T为电极初始温度，与环境温度一致；
d为电极长度．

电弧主要通过弧柱对周围空气进行热传导散热，假设在弧柱以外半径为br的圆柱表面温度为环境温度0T，则电弧对空气的热传导功率Pcd2为：

其中，l为电弧长度；
br取值为100倍的电弧半径，λ为空气热导率．

由文献[11]可知，电弧热辐射功率Pfs与弧柱体积成正比，可用下列公式进行计算：

其中，εfs为弧柱的发射率．

电弧在生长过程中，发出耀眼的弧光并释放热量，且越来越强烈，然而很快便达到稳定燃烧状态，为了获得更加符合真实情况的电弧模型，散发功率的变化有必要考虑在内．由式（2）、（3）、（4）和（5）可得电弧的散发功率sP为：

其中，1k为电极热传导功率系数，k2为空气热传导功率系数，k3为热辐射功率系数．

假设电弧是一个可变电阻，由电弧的电导特性可得：

其中，σ为电弧电导率，在电弧温度保持不变时为常数．

将式（7）带入式（1）中，可得电弧关于半径的模型表达式：

令lnhr=x，则式（8）可以表达为：

由欧姆定律可知，i=u⋅g，根据式（7）得到电弧电流关于半径的表达式：

将式（6）和式（10）带入式（9）中便得到电弧半径扩散模型的控制方程：

在MATLAB / Simulink的仿真环境下建立电弧半径扩散模型，该模型实质上就是一个压控恒流源，根据端电压的变化来调整输出电流，如图2所示，其中，Arc模块为电弧半径扩散模型的核心，该模块是依据式（11）封装的微分计算子模块，参数设置如表1所示．

图2 电弧半径扩散模型

表1 电弧模型的控制方程参数

本文通过仿真和实验手段对电弧半径扩散模型进行验证．图3（a）是实验的原理图，电弧燃烧室内装有的固定电极和可移动电极，共同组成了电弧发生装置．有研究表明[12]，电极材料和形状会对电弧特性造成影响．因此，为了保证实验的严谨性，本实验阴极选取直径1 cm、长度2.5 cm的铜棒，阳极选取直径1 cm、长度2.5 cm的碳棒，每次实验前需对电极表面进行打磨．为了验证模型的可行性与准确性，根据图3（a）在Simulink中进行建模仿真，同时搭建如图3（b）所示的实验装置进行实验验证．

图3 实验的原理图及实验装置

图4所示为仿真与实验条件完全相同情况下的电弧电流、电压波形，其中，电源电压为60 V，负载电阻为7.8 Ω，限流电阻为2.2 Ω，极间距离为0.6 mm．图4（a）和4（b）分别展示了电弧电流和电压波形，通过对比可以发现，仿真波形与实验波形重合度高，具有很好的一致性，即电弧电流均是从小逐渐向大变化，最终达到稳定状态，而电弧电压则是随着电弧电流的增大而降低，呈现出明显的“负阻性”．由于实验过程中容易受到外界因素的干扰，因此实验波形会出现小范围波动．

图4 仿真与实验电弧电流、电压波形的比较

图5展示了不同极间距离下电弧电流的仿真与实验波形，其中，电源电压为60 V，负载电阻为7.8 Ω，限流电阻为2.2 Ω，极间距离l分别为0.6 mm、0.8 mm以及1.0 mm．对比发现，仿真波形与实验波形具有相同的变化规律，即稳态电弧电流随着极间距离的增大而减小，这说明电弧达到稳定状态的平衡点位置与极间距离有关；
同时，在电弧电流从小变大的过程中，电流的变化率也随极间距离的增大而减小．

图5 不同极间距离下的电弧电流仿真与实验波形

在电弧生长时，电弧通过热传导与热辐射的形式向外散发能量，且散发的能量与极间距离有关，极间距离越长，电弧向外释放的能量也越多，从而造成弧柱电阻相对变大，电压升高，电流减小；
同时用于径向生长的能量相对被缩减，从而导致电弧向外扩散的速率减缓，表现为电弧电流波形的斜率变小，如果散发能量大于外电路输入的能量，则电弧不会被点燃或趋于熄灭．

由所给的电弧半径扩散模型可知，电弧电流从小向大变化直到电弧达到稳定燃烧状态的过程就是电弧半径的发展过程，测量电弧响应时间并寻找其变化规律不仅可以验证模型的可靠性，还有利于完善电弧模型．本文将电弧响应时间定义为电弧从小电流生长到与稳定电流差值的半功率点处所经历的时间．在电源电压60 V、负载电阻7.8 Ω、限流电阻2.2 Ω的实验条件下，统计了10组不同极间距离下电弧响应时间的实验值与仿真值，取其平均值作为统计数据，如表2所示．由表2可知，随着极间距离的增大，电弧响应时间逐渐增大，实验结果与仿真结果有相同的变化规律，且实验值与仿真值的相对误差在3%的范围内，这表明所给电弧模型考虑弧长对电弧能量平衡的影响符合客观实际．

表2 极间距离对电弧转移响应时间的影响

综合上述结果表明，本文所建的电弧模型是正确的，且参数选取符合客观实际情况，能够很好地描述电弧的生长过程．

3.1 动态伏安特性分析

在电源输入电压60 V、负载电阻7.8 Ω、限流电阻2.2 Ω的电路条件下，极间距离为0.6 mm、0.8 mm、1.0 mm以及1.2 mm时典型的电弧动态伏安特性曲线见图6．对比图6中的4条曲线可以发现，随着电弧长度的增加，电弧动态伏安特性曲线会升高，这就意味着电弧在生长时需要更高的电源电压．该动态生长过程的电弧电压取决于维持电弧从一个平衡状态转移到另一个平衡状态的输入能量，是电弧本身的一种自我调节能力，与所给电弧半径扩散模型的变化规律一致．

图6 不同极间距离下的动态伏安特性曲线

电弧的动态伏安特性不同于静态伏安特性，在电源输入电压60 V、负载电阻7.8 Ω的电路条件下，0.6 mm极间距离的静态伏安特性曲线与动态伏安特性曲线见图7．图7中，动态伏安特性曲线分别是在2 A、3 A以及4 A的起动电流（电感初始电流）下测得的，静态伏安特性曲线是通过改变负载电阻和电源电压的方式，得到电弧静态工作点后采用最小二乘法拟合得到的．对比发现，电弧的动态伏安特性曲线始终高于静态伏安特性曲线，且起动电流越大，动态伏安特性曲线在小电流区域越高．在生长过程中，电弧电流从小向大变化，由于电流的变化速度快，电弧温度的升高以及半径的扩散存在滞后性，相对于稳定燃烧状态而言，维持弧柱内部的电离过程需要更高的电压，而且经过一段时间才能达到稳定燃烧点．

图7 动态伏安特性曲线与静态伏安特性曲线

3.2 电路参数对电弧电流的影响

图8展示了不同电路参数对电弧电流波形的影响．

图8 不同电路参数对电弧电流的影响

在仿真过程中，每次只改变一个量，保证其它参量不变．图8（a）展示了限流电阻R2对电弧电流的影响，很明显可以看出，限流电阻R2不会影响稳态后电流的平衡点位置，而在电弧生长时，增大限流电阻将导致抽头电感中的起动电流减小，从而影响抽头电感的前期储能，储能越少则电弧的生长速度越慢，因此限流电阻会在一定程度上影响电弧的响应速度．图8（b）展示了负载电阻R1对电弧电流的影响，增大负载电阻，电弧稳态时的平衡点位置降低，这是因为电弧的稳定燃烧点就是负载线与伏安特性曲线的交点，负载线越陡，交点的位置就越向电流小的方向移动．图8（c）展示了电源电压E对电弧电流的影响，电源电压影响电路负载线的位置，电源电压越低，负载线就越向电流低的方向平行移动，从而导致稳态电弧电流的平衡点位置下移．图8（d）展示了电弧模型中初始半径对电弧电流的影响，不难看出，由于初始半径过小，四条波形线几乎重合，这说明初始半径虽然对电流波形有一定的影响，但不会对电弧电流的稳态平衡点造成太大影响，可忽略不计．

本文从电弧的能量平衡出发，考虑热传导和热辐射对电弧半径的影响，对Mayr电弧模型进行了改进，给出了一种电弧半径扩散模型，并在MATLAB / Simulink的仿真环境下建立了电弧仿真模型．

采用仿真和实验的手段验证了所给电弧模型的可行性和准确性，表明电弧模型的参数选取符合客观实际情况，能够很好地描述电弧的生长过程．通过电弧电流、电压波形的对比，可以发现仿真与实验波形具有很好的一致性．对比不同间距下电弧电流波形可以发现，仿真与实验波形具有相同的变化规律，改变极间距离不仅会使电弧的稳态平衡点发生变化，而且会影响电弧的响应速度．统计不同极间距离下的电弧响应时间，发现仿真值与实验值的相对误差在3%的范围内，表明考虑弧长对电弧能量平衡的影响符合客观实际．

实验对比了电弧生长时的动态伏安特性曲线和静态伏安特性曲线，发现电弧生长时动态伏安特性曲线始终位于静态伏安特性曲线的上方，电弧生长存在滞后性．仿真探索了电路参数对电弧电流的影响，结果表明，电弧的稳态平衡点与电路负载参数有关，电弧初始条件几乎不会对电弧的稳态平衡点造成影响．

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