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全平面上关联指数函数的半离散Hilbert型不等式

来源:专题范文 时间:2024-02-05 18:38:01

有名辉

(浙江机电职业技术学院 数学教研室,浙江 杭州 310053)

20世纪初,德国哥廷根大学著名数学家Hilbert在积分方程的讲座中提出了一个二重级数不等式:若am,bn>0,m,n∈ N+,且a={am} ∈l2,b={bn} ∈l2,则

其中,π是使得式(1)成立的最佳常数因子。1911年,Schur证明了式(1)的积分形式:

其中f,g≥ 0,并且f,g∈L2(R+),π 是式(2)成立的最佳常数因子。

通常,不等式(1)和(2)被称为 Hilbert不等式[1]。最近20余年间,数学研究者们通过引进参数,利用权系数的方法,建立了式(1)和式(2)的诸多推广、加强、逆向、更精确以及高维形式[2-9]。与此同时,通过构建新的核函数,研究者们还建立了大量新的Hilbert型不等式,如文献[10]证明了

其中,μ(x)=|x|-(4n+1)。其他一些与双曲函数有关的Hilbert型不等式可参见文献[12-14]。

需要指出,Hilbert型不等式除了离散型和积分型外,有时还以半离散型出现[15-16]。通常,离散型和半离散型Hilbert型不等式建立在第一象限,而全平面上的结果甚少出现。另外,对于一些非齐次的核函数,若要建立离散型的结果,由于最佳常数的构造性证明不易实现[9],研究者们往往考虑其对应的非齐次半离散形式。因此,本文将探究式(4)对应的半离散形式,建立如下Hilbert型不等式:

其中,Z0=Z{0},m∈N,Em为Euler数,μ(x)=|x|-1,vn=|n|-1,(x)=|x|(2m-1)/(2m+3),=|n|(2m-1)/(2m+3)。

通过构造一个与指数函数相关联的核函数,并设置关键条件ad=bc及γ、λ的取值范围以保证核函数的单调性,从而建立一个全平面上的半离散型Hilbert型不等式,以拓展涉及双曲函数的Hilbert型不等式的相关研究成果。全平面上半离散型Hilbert型不等式在以往的研究文献中出现甚少,本文的研究成果具有一定的理论创新,对其他一些类似的研究应有借鉴意义。

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