高中数学大概念的提取探析

安乐乐 刘媚

摘 要：《普通高中数学课程标准》（2017年版2020年修订）提出“课程内容聚焦学科大概念，促进学科核心素养的落实”的理念。大概念是将素养落实到具体教学中的“锚点”，大概念提取研究一方面立足于对课程标准的深入理解，另一方面也是基于对大概念教学所面临的现实问题的积极思考。文章尝试以人教A版必修教材中的“概率”单元为例，通过对课标、单元、每节学习内容的深入分析，从中提取大概念，并对其进行简明论证。希冀为我国基础教育阶段基于大概念的教学实践做出有益探索。

关键词：高中数学；
数学大概念；
大概念提取；
概率

大概念起源于国外，20世纪60年代初，美国著名教育家布鲁纳（J.S.Bruner）提出的“学科基本结构”可以认为是大概念的起源。布鲁纳指出：“学科基本结构是指学科的基本概念、基本原理及其相互之间的关联性”［1］。随后，国际学界诸多研究者沿着这一思想不断思考和探索，使得有关“大概念”的理论不断发展、完善。通常来说，大概念是指处于重要地位，兼具认识论、方法论和价值论三重意义的概念、观念或论题。数学大概念包括数学的核心概念，主要的数学思想方法、重要的数学技能、解决问题的一般思路、数学观念［2］。根据大概念提取路径的现有研究成果，结合概率单元核心内容的实际情况，本文将选用“自上而下”大概念的四条提取路径：课程标准、学科核心素养、专家思维、概念派生来提取“概率”的大概念［3］。

一、概率单元分析

概率单元在新人教A版必修教材中的内容包括：随机事件与概率、事件的相互独立性、频率与概率［4］。其单元知识结构如图1所示。

概率单元的学习有助于学生加深对随机现象的理解与认识；
体会数学中常用的统计推断、随机、模型化、具体到抽象、转化与化归、特殊到一般（归纳和类比）、分类讨论等思想方法；
形成探究概率的思路，提升学生数学核心素养。

二、单元知识的逻辑梳理

学生在初中对随机事件、试验结果等可能条件下概率的计算及用频率估计概率已有初步的认识。新人教A版必修教材中本单元的知识逻辑如图1所示。其中随机事件与概率的研究路径如图2所示：

研究方法：观察随机现象的可能结果，构建试验的样本空间。根据随机事件发生的意义，抽象得到其是样本空间的子集。根据概率的定义，类比函数的研究过程和方法来构建概率的研究路径，形成研究方法，得到相关结论。其中函数的研究路径：预备知识—函数的事实—函数的概念及表示—函数的性质—基本初等函数。容易发现，古典概型与函数中的幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数地位相当，但考慮到学生的认知水平，为使其在理解概率的概念和性质时有一个具体实例支撑，将古典概型提前安排至概率的性质之前进行研究。

两个事件相互独立性的研究路径如图3所示：

研究方法：一方面，明确积事件AB的意义的基础上，判定积事件AB发生的概率与事件A、B发生概率相关的必然性。通过分析、寻找试验的共性中得到启发，从而引入两个事件相互独立的定义；
另一方面，类比事件A和B互斥，则P（A∪B）=P（A）+P（B），研究事件A和B具有怎样的关系时P（AB）=P（A）P（B）。从两个事件非常特殊的关系：互为对立入手，探究两个独立事件的性质。在实际应用中，恰是逆过程，先根据实际情境直观判断独立性，然后用定义简化积事件概率的计算。

频率与概率的研究路径如图4所示：

研究方法：从直观认识出发，通过设计重复试验，并利用计算机实施随机模拟，探究频率的特性及与概率的关系，从而得到：频率具有随机性、稳定性等，当试验次数较大时，即可用频率来估计概率。最后将此运用到实际需要中。

三、单元大概念的提取

“自上而下”提取的大概念一般较科学、准确，在很大程度上也是有章可循的。难点在于根据实际情况、适配教学重点难点进行细化或整合。

课程标准是国家课程的重要指导性文件。本单元可从其中提取出如下4个大概念：

（1）统计、概率的研究对象分别是数据和随机现象，数据中的随机性是联系二者的桥梁。

（2）理解“样本空间”的基础地位与作用。

（3）重视“古典概”型的特征。

（4）注重“用频率估计概率”思想方法的价值性。

确定其作为本单元的大概念的原因分析如下：

（1）统计学正是通过随机现象发现事物的统计规律，在此基础上认识、把握客观规律；
而随机现象的认识可从统计理解（随机抽样、用样本推断总体等）角度展开。具体为：①统计（总体）—概率（样本空间），统计中的总体无随机性，但若采用随机抽样，则会表现出一定的随机性；
②从概率角度体会抽样方式对总体统计量的影响；
③实际应用中，通过统计发现规律，提出相应的概率模型—利用统计方法，用频率验证模型的正确性、科学性。

（2）引入样本空间是很有意义的：①可利用集合工具（语言），用数学方法研究随机现象的规律；
②有利于理解随机事件的概念及其关系与运算的意义等。

（3）一方面，实际问题的解决中了解构建概率模型的一般方法，逐步形成模型化思想；
另一方面，只有在符合古典概型的两个特征下，才能定义其中事件发生的概率。

（4）实际问题中确有大量随机事件发生的概率需要利用频率来估计，且“用频率估计概率”这一思想方法几乎没有条件限制，适用范围更广。

学科核心素养是其育人价值的集中体现。本单元可从其中提取如下两个大概念：

（1）实际问题情境是数学概念、命题、方法和体系的来源之一，理想成果的获得需有效发挥数学抽象、逻辑推理、数学建模等素养。

（2）不同语言（自然语言与数学语言）之间的相互转化是将实际问题数学化的重要手段，更是提升数学抽象素养的重要途径。

确定其作为本单元的大概念的原因分析如下：

（1）用样本点表示随机事件是把现实问题转化为数学问题的关键步骤，在此基础上才可给出随机事件的数学刻画（样本空间的子集），进而清晰地认识数学结构与体系。

（2）运用特殊到一般的推理，即归纳、类比推理，其不但有助于得到数学结论，更为重要的是有利于构建数学体系。具体为：①样本空间的概念（随机试验的抽象）；
随机事件的概念（实际问题的抽象）；
随机试验的本质特征（生活实例共性的抽象概括）；
概率模型的建立（具备某些特征的随机试验的抽象）；
事件的独立性（事件发生互不影响的抽象）。②根据概率的定义，构建概率的研究路径（函数—概率）；
从事件的关系和运算入手，发现概率的性质（度量—概率）；
事件的关系与运算的理解（集合—事件）；
运用归纳的方式研究概率的性质；
从特殊试验入手得到频率的特点的一般性结论等。

大概念是专家思维方式的反射。本单元可以此提炼出如下两个大概念：

（1）对同一问题（对象的概念构建）不同个体会有不同的角度、看法和想法，由直观描述到数学刻画，是一个严格化、精确化的过程。

（2）信息技术变“无穷”为“有穷”，使“不可能”成为“可能”。

确定其作为本单元的大概念的原因分析如下：

（1）数学对象的概念、定义通常被视为教学的重点，其是后续相关教学内容的基础。就概率单元而言，随机事件、事件相互独立、概率等的定义均是教学的重点，某种程度也可以说是教学难点。而从其直观意义上升到数学刻画有重大意义。具体为：①随机事件的描述性定义：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，同时将必然事件、不可能事件和随机事件看成是并列的关系；
随机事件的数学刻画：样本空间的子集，而将前两者看作是后者的两个极端情形。②概率的描述性定义：随机事件发生可能性大小的量度。其无法确定具体随机事件的概率。概率的数学刻画根据实际的需要不断发展：古典概率定义—概率的频率定义—几何概率定义—概率的公理化结构。其均有利于确定具体随机事件的概率，且逐趋严谨、科学。

（2）依据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，信息技术使大量重复试验成为可能。利用计算机产生整数随机数、模拟某些随机试验，不但能提高数据处理的效率，而且有利于更好地体会概率的意义。

大概念之间定是具有非平行关系的，比如关联、派生等。本单元以此提取如下1个大概念：

2个事件及2个事件的关系是事件关系研究的主要方向，且2个同类事件的关系不一定能够推广到2个同类事件的关系。其是由“2个事物及2个事物之间的关系是事物关系研究的主要方向，且2个同类事物之间的关系不一定能够推广到2个同类事物的关系”这一跨学科大概念派生而来。它是一条高位的大概念，可以用于几乎各门学科，而且在实际生活中也非常适用。

确定其作为本单元的大概念的原因分析如下：首先，数学对象关系的研究有助于宏观地、更高位的理解、把握数学对象。随机事件关系的研究价值：有助于更好地理解随机事件的内涵；
可以用简单事件表示复杂事件，进而实现用简单事件的概率推算复杂事件概率，最终简化某些复杂概率的计算。其次，数学对象的性质的研究可从两方面入手：一方面，从定义出发研究其自身的性质；
另一方面，从与其他对象的关系出发研究其在关系、运算等中的性质。具体为利用集合的知识对2个事件关系的研究发现，其主要存在如下几种关系：包含、并事件、交事件、互斥事件、互相对立事件。在概率性质的研究过程中，关注到具有上述关系的事件的概率的关系，研究结论之一：若事件A和B互斥，则P（A∪B）=P（A）+P（B）。以其为基础可得出：若事件A1，A2，……，An两两互斥，则P（A1∪A2∪……∪An）=P（A1）+P（A2）+……+P（An）；
同时催生出新问题及与之对应的新结论：事件A和B具有怎样的关系时P（AB）=P（A）P（B），若事件A和B相互独立，则P（AB）=P（A）P（B）。但是与上面有所不同，A1，A2，……，An两两独立的条件下，P（A1A2……An）=P（A1）P（A2）……P（An）却一般不成立。

综上所述，笔者先依据课程标准做单元（内容、知识逻辑、目标）分析，再依照教材编排，分节逐次分析研究内容、研究路径和方法、思维方法等。在此基础上，运用大概念提取的4条路径提取得到概率单元的9个大概念，同时做了简明论证。大概念提取是大概念教学的基础和前提，本文以期为教育工作者理解、转化并在实际教学中科学有效地提取大概念提供借鉴。

参考文獻：

［1］Bruner J S，Lufburrow R A.The Process of Education［M］.Harvard University Press，1960.

［2］夏繁军.“数学大概念”的提取与论证［J］.基础教育课程，2022（Z1）：8794.

［3］刘徽.“大概念”视角下的单元整体教学构型——兼论素养导向的课堂变革［J］.教育研究，2020，41（06）：6477.

［4］普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

基金资助：宁夏高等学校“西部一流”学科建设项目（NXYLXK2017B11）；
宁夏师范学院高水平本科教育“新师范”教育专项

作者简介：安乐乐（1997— ），女，汉族，陕西彬州人，专业硕士，研究方向：学科教学（数学）。

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