合理改编教材例题，提升学生数学思维

李侬民 余叶军

教材中的例题是专家经过反复推敲、精心选择的教学资源，一般设计在新概念、新命题之后。教材中的例题教学是教师用作示范讲解的重要手段，也是帮助学生理解，掌握，运用数学概念、定理和法则等相关知识的有效途径。囿于教材的篇幅，教材例题的设计不可能面面俱到，也不可能关注到各类学生的认知情况，这就需要教师将例题适当改编设计，以便更好地发挥例题的育人功能。下面，笔者以苏科版数学教材七（上）第6章第1节“线段、射线、直线”中的一道例题为例，浅谈如何提升学生数学思维。

一、原题呈现

例1 如图1，线段AB=8，C是AB的中点，点D在CB上，且DB=1.5，求线段CD的长。

本题涉及中点定义和线段和差关系的应用，是一道典型的线段求长问题。本题看似简单，但因为学生对中点定义的应用以及线段和差关系的推理都比较陌生，在实际解题中，往往会出现下列认知障碍：

①语言选择障碍。例如，根据点C是线段AB的中点，学生可以得到AB=2AC=2BC，AC=BC=[12]AB，但部分学生不知道选择哪个结论来求线段CD的长。

②语言转换障碍。当前学生的数学语言表达是通过列算式或者列方程的方式，还不会用“因为……所以……”的方式进行几何推理，所以学生能列算式求出CD的长，却不能将算式语言转化成推理语言。

③语言组织障碍。因为求CD的长不是一步就能解决，所以部分学生不知道先用哪个条件，容易出现表达混乱的状况。例如，有些学生发现CD可以用BC减去BD来求，第一步就写“∵CD=BC-BD”，当发现BC的长需要通过中点的定义来求时，又寫“∵点C是线段AB的中点”，将两个条件写在一起了。

二、例题改编

要把文章写好，必须先把句子写好。同样，要把推理写好，必须先把基本的概念、命题的几何语言写好。例题中涉及中点定义和线段和差运算，所以笔者采取先分后合、先易后难、先具体后开放的改编策略。

变式1 如图2，点C是线段AB上一点。

①图中有几条线段，它们之间有什么数量关系？

②若AB=8，AC=3，求线段BC的长。

③如果让你添加线段长，你还能提出什么问题？

④如图3，如果在线段AB上再添加一点D，图中又有哪些线段？如果求线段CD长，你有哪些方法？

⑤图3中，若AB=8，AD=5，BC=6，求线段CD的长。

⑥请结合图3，重新给定一些线段的长，为你的同桌设计一个新问题。

【设计意图】变式1设计了6个问题，前3个问题涉及3条线段，后3个问题涉及6条线段，难度由易到难，螺旋上升。求线段长的关键是找到线段之间的数量关系，问题①和④是让学生观察分析找到线段间的数量关系，并会用和差的方式表示，培养学生从复杂图形中分解基本图形的能力；
问题②和⑤主要是教师示范用“因为……所以……”来推理；
问题③和⑥是让学生模仿用“因为……所以……”来推理，强化推理语言书写的规范性；
问题③是师生互动，目的是教师引导学生推理，及时发现、解决学生存在的问题；
问题⑥是生生互动，借助小组合作，互助互学，排除推理障碍；
问题③和⑥都是开放式问题，能渗透分类思想，培养创新意识，也能培养学生提出问题、解决问题的能力。

变式2 ①移动图2中的点C，当满足什么条件时，点C是线段AB的中点？

②如图4，点C是线段AB的中点，若AB=8，求线段AC的长；
若AC=4，求线段AB、BC的长。

③如果将问题②中“点C是线段AB的中点”换一种表述方法，你会如何改编问题②呢？

④如果将问题②中“点C是线段AB的中点”换成AC=2BC，又应该如何求解相关线段长呢？

【设计意图】一个定义往往有两层含义：一是作为条件，二是作为判定依据。变式2要让学生充分理解这两层含义，所以问题①是将中点定义作为判定依据，问题②是将中点定义作为条件；
问题②用中点的两个结论分别求线段长，排除语言选择障碍；
问题③进一步引导学生理解中点的定义，感悟文字语言和符号语言的对应关系；
问题④是跳出中点定义之外，感悟中点定义的本质（一种线段间的数量关系），渗透方程思想，体会求线段长的一般方法。

变式3 在图4中，点C是线段AB的中点，如果在线段AB上再添加一个点D。

①如图1，若AB=8，DB=1.5，求线段CD的长。（教材例题）

②请自己在图4中添加点D的位置，并添加适当的条件，设计一个新的问题。

【设计意图】在经历线段和差推理和中点推理之后，再出示教材例题（问题①），难度系数大大降低，学生也能感受到复杂问题实际上是基本问题的融合；
问题②让学生自主设计问题，因为设计问题和解决问题是两种互逆的思维方式，能更好地理清线段间的数量关系，理顺推理过程的书写顺序，培养完整的思维方式。学生在设计问题时，必然会借鉴教师的设计，以及之前在例1、例2中获得的经验，自觉运用类比、转化的数学思想。

三、教学反思

1.例题改编要分析学生认知障碍，剖析设计意图

教师改编教材例题要摸清例题的设计意图，分析学生可能会出现的认知障碍，提前干预，将认知障碍消灭在萌芽状态，提高例题教学效率。

本节课例题的设计意图是让学生理解中点的意义，会用“因为……所以……”的方式表达线段中点定义和线段和差数量关系。这是一种新的语言表达方式，因此，学生在语言的选择、转换、组织、表达等方面均存在不同程度的认知障碍，教师必须引导学生循序渐进，打好扎实的基础。为了排除这些障碍，笔者采用先拆后合的方法，让学生先用“因为……所以……”表达线段和差，再用“因为……所以……”表达中点的定义，最后将两个问题融合，完成教材例题的教学目标。

2.例题改编要关注学生认知差异，推动全体发展

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（下称《课标（2022）》）中提出，义务教育数学课程要致力于实现义务教育阶段的培养目标，使得人人都能获得良好的数学教育，让不同的人在数学上得到不同的发展，逐步形成适应终身发展需要的核心素养。在实际教学中，因为每个学生的知识基础、认知结构不同，学生之间形成了认知差异。要想人人都能获得良好的数学教育、人人都能得到发展，例题的改编就要遵循起点低、坡度小、螺旋上升的原则，既要有教师示范引领，也要有学生参与活动；
既要重视独立思考，也要重视合作交流。

由于面向的是七年级学生，所以本节课例题设计起点较低，目的是让每个学生都学会最基本的推理语言。教师通过设计开放性的问题，一方面让学生参与其中，另一方面让学生有选择性地做题。在问题设计过程中，基础薄弱的学生可以模仿示例设计问题，通过同类问题的解答，学会推理，增强信心；
基础好的学生不满足于模仿，他们思考问题全面，思维敏捷，不自觉地运用分类、类比等思想创造性地设计问题，通过成功的问题设计，满足了他们探索的欲望，培养了提出问题、解决问题的能力。例题中设计生生互动的问题，目的是让每个学生都得到不同程度的发展，培养学生的合作意识。

3.例题改编要调动学生自我监控，促进自我调节

《课标（2022）》强调学生是学习的主体。学习应该是一个主动的过程，教师要鼓励学生自我监控学习。自我监控是参照一定的标准，主动跟进自己的学习目标、内容、效果等达成情况。自我监控是为了促进自我调节，增强学习的自我效能，激发学习数学的内在动力。在自我调节的学习中，学生的自我反映通常有两种形式：一是自我认同，这是一种积极的自我反馈评价，能激发学生学习的兴趣，提升学习的信念水平，它是实现“教而不教”的保障；
二是自我适应、自我防御，这是一种调节性自我反馈评价，能调适学生的学习心理，优化学习策略。

例题设计要具有参与性，只有学生参与其中，才能调动自主监控，发现存在的问题，并在教师的引导示范下及时自主调节，达成学习目标；
例题设计还要具有展示交流性，初中生喜欢展示自己，特别是在同伴面前，利用这个心理特点设计有层次的问题，让不同层次的学生都有展示的机会，这样的例题设计必然事半功倍。

（作者单位：1.江苏省仪征市新集初级中学 2.江苏省仪征市实验中學）

本文系江苏省教育科学“十四五”规划立项课题“基于苏科版教材的初中数学学科育人实践研究”（课题编号：D/2021/02/613）研究成果。

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