基于差分方程的量化减肥理论模型及运用

文/李道龙 邓宏宇 刘家明 胡昌飞 叶舒红

随着国家经济发展及生活水平的提高，人们的生活在“科技”助力下越来越便捷。但另一方面，由于生活节奏的加快，各种疾病甚至新的疾病也开始出现，肥胖就属于其中重要问题之一。人们在享受现代科技带来方便同时，却忽视了运动带来的天然益处。有人及时采取措施实现高效减肥。但是更多的人不注意运动的时间安排，很少有人根据每周食物的能量摄取量来安排时间。本文主要从理论方面，通过建立数学模型，来确定一个适用于普遍人群的数学减肥模型。

（一）肥胖的定义

肥胖是影响全世界健康问题的一个隐患，尤其表现在发达国家。判断一个人是否肥胖可以通过一些关于生理的指数进行，现在衡量肥胖主流指数是BMI。Amiri团队于2019年的研究中指出，BMI≥25就是影响健康的个体因素了。而美国内分泌医师学会肥胖指南中定义：BMI在25到29.9范围内为超重，30到34.9范围内为一级肥胖，35到39.9为二级肥胖，超过40则为三级肥胖。为了结合中国现状，我们界定18.5≤BMI ≤23.9为正常体重，24≤BMI ≤27.9为超重型，BMI ≥28统一归类为肥胖型。

（二）肥胖的原因

肥胖原因较为复杂，有先天性和后天性两种，也有正常和病理性肥胖。上海体育学院郭吟等人在论著中把肥胖归纳为遗传因素、营养过剩、缺乏体力运动三个生理性原因，而哈医一附院李婧雯等人，将肥胖病理性因素大致归纳为交感神经系统激活、RAAS激活、瘦素抵抗、食欲素过度表达。如果是生理性原因，可以采取调整日常饮食习惯，进行适当运动的方式减肥，而病理性的肥胖需要按医嘱配合相应治疗、正确饮食搭配和运动方式。

（三）肥胖是影响国民健康的重要因素

21世纪以来，威胁人类健康的三大疾病包括食源性疾病、药源性疾病以及医源性疾病。如今，肥胖更多的属于食源性疾病，也就是“吃出来的”疾病。王陇德院士在《营养助力健康中国》中说到，2016年“推进健康中国建设”写入纲要意味着“健康中国”上升为国家战略。重视肥胖问题的解决也是助力健康中国建设的一项重要举措。福建医科大学附属龙岩第一医院张敏等人认为在经济发展同时，肥胖也日益成为影响国民健康的重要因素，她提倡膳食疗养法，认为要减少体内的脂肪量。

（一）运动

运动是影响减肥最重要的因素之一，合理的运动也是减肥的最科学方案。运动包括运动的时间、方式、强度等等。运动时间的安排最好以天或者周进行。一般而言一天运动1小时较普遍，也可以根据自身需求安排一周多少个小时，运动时间太短，效果几乎为零。另外，有效减肥应该采取持续性减肥方式而不是间歇式减肥方式，间歇性减肥效果较差。就运动方式而言，应当根据自己爱好以及适宜自己的减肥方式进行综合考虑，不应该单一化，应当将两种或者两种以上的减肥方式结合，比如慢跑之后进行俯卧撑等等。如果想减少腿部脂肪，可以采取跑步或者跳绳，想要减少肚子上的脂肪，可以采用俯卧撑或者柔力球等。减肥过程中运动强度应该小而持续，太大的运动强度容易让人产生饥饿感，容易出现运动之后食量大增的现象。

（二）睡眠质量

睡眠质量的好坏会影响人的生理机能。如果在减肥过程中经常熬夜，人的生理机能将大大下降。研究表明，人要保持7～9小时的睡眠才比较合理。过多或过少的睡眠会影响运动的精力及膳食摄取的效果，导致精神萎靡，毫无力气进行运动。

（三）膳食摄取

膳食摄取在很大程度上影响减肥，要荤素搭配，饮食均衡。在减肥过程中，可以多偏向素材等富含纤维的食物，素菜里含有丰富的维生素，热量低，适合减肥。

（一）相关指标介绍

1.相关指标介绍。

我们采用世卫组织相关材料中提到的BMI模型，即 BMI=W/M2：，其中 W 为体重（kg）,M为身高（m）。

2.模型的理论依据。

人体内部能量维持着能量守恒定律，如果机体消耗的能量不及吸收的能量，过多的能量会以脂肪的形式储存在体内，导致体重增加。

3.模型的建立。

我们选择使用的模型是姜启源设计的差分方程减肥模型：Wn+1=αC+（1-β-γ）Wn，公式Wn+1中为第n+1天的体重，（1-β-γ）Wn为前一天能量消耗后的体重，αC为新增热量转换成的体重。其中β是正常代谢消耗指数，γ为运动后减肥系数，α为能量和体重之间转换的系数：

可以由设定临界值的方法进行计算，最后可以推导出模型：

体重不变模型主要是一个临界值，当Wn+Wn+1=0时，也就是前一天的体重与后一天的体重维持不变。对此我们可以对前面设计的模型进行适当的改变，即体重的差值和摄入消耗的差值均为0，我们可以得出式子Wn-Wn+1=αC-（β+γ）Wn，化简后为：

此模型说明每日摄取的卡路里水平需要维持在一个临界值上，这个临界值与需要维持的体重、运动消耗能量、代谢消耗能量存在着正相关关系，与能量转换系数存在着负相关关系，每日摄取饮食卡路里保持此值，理论上来说体重不会增加。

假设存在一个身高为1.75m的健康成年男性，现阶段体重为84kg，他对现阶段体重不满意，想将体重降至BMI=25所对应的数值，我们可以通过模型数值计算来给予其一些建议。

健康专家建议普通人减肥每个月不超过4.0kg最为适宜。那么我们设定BMI在60天内降为25，即体重需要在60天内降为76.5625kg，即两个月减肥不超过8kg。通过上述信息及公式的代入计算，我们可以知道W084，ω=0.2480，假设此人β=0.004，且选取每天跑步一小时的方法即γ=αpt=7/8000。最后计算出c大约为1577kcal，参照食物热量表，他的减肥可以采用以下几种方案：

方案一：

早：水煮蛋1个（147kcal）、全脂牛奶200ml（320kcal）。

中：鸡胸肉150g（200kcal）、水煮青菜250g（60kcal）、粗粮 70g（230kcal）。

晚：清蒸鱼虾150g（130kcal）、紫菜虾皮汤100ml（35kcal）、西红柿 100g（18kcal），热量合计 ：1140kcal。

方案二：

早：苹果 210g（100 kcal）、火腿肠（不含淀粉 )100g（264 kcal）。

中：盐水鸭腿150g（360 kcal）、玉米胡萝卜200g（100 kcal）、米饭 50g（58 kcal）。

晚:肉末豆腐150g (300 kcal) 水煮西兰花100g (34 kcal)菌菇汤100ml (8 kcal)热量合计: 1216 kcal

方案三：

早:清蒸芋头80g (79 kcal) 蓝莓100g (57 kcal)纯牛奶200g (320 kcal)

中:牛排200g (450 kcal) 水煮秋葵100g (37 kcal)山药泥 100g（150 kcal）。

晚:红烧鲫鱼100g（220 kcal）、青椒土豆丝70g（89 kcal）、青菜豆腐汤100ml（10大卡）、热量合计：1412 kcal。

假设之后此人不锻炼，但需要维持BMI=25这个水平所对应的体重。通过公式算出他每天需要摄取不多于2450kcal热量的食物。如果之后此人每天继续坚持跑步一小时，则可以摄取不多于大约2986kcal的食物。

通过建立和运用数学模型可以得出结论，减肥效果与每日摄取卡路里、运动消耗能量、个人体质决定的代谢消耗能量都有着显著的相关关系。正常来说，如果一个人每日进行一定量的运动，而且控制能量的摄入，减肥效果是十分明显的，具体减肥效果可以通过运用文中给出的模型进行模拟计算。但是过度的运动和过少能量的获取都会对人的身体健康产生负面影响，所以减肥需要按照科学指标进行适量运动和能量获得，才是健康减肥。此模型主要是理论推导，实际效果是由多种因素决定的，或与模型存在一定差距，需要读者辩证看待。

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