微积分课程线上教学探究

翟冬阳

（三亚学院理工学院 海南 三亚 572022）

微积分是高等数学中研究函数的微分与积分及其相关概念和应用的数学分支，它是数学的一个基础学科，其发展与应用几乎影响了现代生活的所有领域，它与大部分科学分支关系密切。目前大多数综合性大学、工科院校设立的经济、管理学科各专业都开设了微积分课程[1]。微积分课程作为一门重要的公共基础课程，既是将来专业学习的工具，又对学生的全面发展具有重要价值。但微积分课程具有难度大，内容枯燥，理论过于抽象等特点，学生的实际学习效果并不理想。

雨课堂是由清华大学与学堂在线共同研发的教学平台，基于微信公众号、小程序，包括了实时视频直播、随机点名、弹幕、作业测试发布、红包激励等功能[2-3]。雨课堂在课前预习、课中随机点名和答题、课后作业与测试上游刃有余，同时利用后台数据，了解学生的学习时长。不足的是不能与学生实现实时语音互动，学生只能通过弹幕与投稿实现师生交流，同时雨课堂在直播授课的过程中还会出现卡顿现象。腾讯会议是腾讯云旗下的一款音视频会议软件，该软件具有共享屏幕、共享在线文档协作等功能，特别适合直播授课，但是缺少随机点名等教学功能。MOOC（Massive Open Online Course，音译为慕课）是近年来伴随着计算机应用技术而兴起的一种新型的网络课程教学模式。MOOC 对于教学环境约束较小，不受人数、时间、地点以及课时数的影响，能极大弥补传统课堂授课的缺陷和不足，充分发挥了网络的开放性与交互性，使更广泛的学生受益。

目前，国内有中国大学慕课、学堂在线、智慧树等MOOC 平台。国内MOOC 平台提供的大量微积分课程都是由一线高校研究开发的，适合各种层次的学生。微积分这门课程具有难度较大，内容相对枯燥，理论过于抽象等特点，在一定程度上还是比较依赖传统授课中粉笔+黑板的教师演算推导模式，这都对线上教学模式提出了很大挑战。本文以第一类换元积分法为例展示了详细的教学设计方案，并且对比线上教学相对传统教学的一些优点与不足。

第一类换元积分法这节内容主要包括两部分：①不定积分的第一类换元积分法；
②定积分的第一类换元积分法。第一类换元积分法也叫凑微分法。由于能用直接积分法计算的积分非常有限，所以第一类换元积分法也是计算积分的一种基本方法。

1.1 制订教学方案

根据这一节的两块内容，合理安排预习内容，恰当分配授课时间。熟练掌握第一类换元积分法在不定积分与定积分上的应用是这节课的教学目标。第一类换元积分法在不定积分上的应用是本节课的难点，关于这部分内容的讲授我们分三块实现：课前预习、课上精讲、练习巩固；
第二部分的内容是本堂课的重点，要求同学们理解“换元必换限”，这部分内容通过课上简讲，讲练结合来实现。

1.2 课前预习

通过QQ群推送本次课选用的MOOC资源的链接，通过雨课堂发布本次课预习大纲的PPT 以及预习作业PPT。预习大纲由预习纲要与重难点构成。预习作业不一定必须回避MOOC 视频中的题目，它可以检验学生的视频完成情况。在雨课堂的后台，我们能看到每位同学的预习进展，包括是否开始预习以及预习所用时间，这些数据可以实现教师对于学生的实时监督功能。当然学生对于难度较大的幻灯片可以表达自己的“不懂”，以便教师发现问题，从而做到心里有数。预习内容切勿覆盖本节课的全部内容，反复这样会让部分预习效果较好的学生对课堂讲解失去兴趣。比如本节课的预习内容是针对不定积分中被积函数能分解为一个复合函数与这个复合函数的内层函数导数的乘积这种情形设计的。

1.3 课堂教学

关于不定积分的第一类换元积分法的讲解，主要分三个层次：①被积函数能分解成一个复合函数与其内层函数导数的乘积；
②被积函数能分解成一个复合函数与其内层函数导数乘积的常数倍；
③凑微分。对于第一个层次的掌握，我们在预习测试里有相关作业。具体授课时分为例题讲解、串题限时练习、专题练习三部分。第二部分通过三组串题限时练习（单个空的时间可由30 秒，再到25 秒，最后20 秒）巩固掌握。这三组串题限时练习，是让学生理解与熟悉当被积函数能分解成一个复合函数与这个复合函数内层函数导数的乘积时，如何用第一类换元积分法来求积分。

练习3 省去了换元与回带的过程，让学生明白第一类换元积分的重点所在。串题限时练习将一个主观题分解成了若干客观题，从而更具体地暴露出学生的理解误区，方便教师针对讲解。对于第二个层次的掌握，通过设陷练习，引出结论：若被积函数能分解成一个复合函数与其内层函数导数乘积的常数倍时，也可用第一类换元积分法求解。设置练习，巩固掌握。对于第三个层次的讲授，通过增加练习题的题量与难度，从而体现凑微分的主动性。对于定积分的换元积分法，通过设置练习引出“换元必换限”。

1.4 课后作业与辅导

我们通过线上作业和线下习题册共同实现课后作业的布置。线上作业以客观题为主，难度适中，覆盖面广。线上课后作业与预习作业一样，不仅能够设置学生的最晚提交时间以及公布答案的时间，同时还能给出具体的解析，方便学生及时发现问题解决问题。线上作业能高效全面地掌握学生的学习情况，横向到每一位同学，纵向到每一个知识点。雨课堂可以通过具体的表格呈现，包括：每道题的答题率、正确率与平均分以及各个学生的得分情况。线下习题册题量充足，层次分明，既有简单的概念题，也有加星的选做题，能满足不同同学的需求。当然线上线下作业的编制内容不要重复。线下作业的批改可以通过雨课堂拍照上传。

1.5 考核

过程化考核通过考勤、预习测试、课堂作业、课后作业、阶段测试体现，平时成绩占40%。教师通过雨课堂发布预习作业、课堂作业、课后作业以及阶段测试试卷等。学生的相关成绩可以作为过程化考核的一个重要依据。教师在设置作业或者测试的分数时，最好保持每次作业分数一致，且为十的倍数，这样方便后期科学地给出加权平均值。除了这些结果数据可作为过程化考核的参考，线上教学的诸多行为数据同样是过程化考核的重要依据，包括：在预习方面，不管是学生观看MOOC 视频的时长，还是预习雨课堂课件的时长，平台均有量化数据；
在具体教学中，腾讯会议统计了学生的首次入会时间和最后离会时间以及累计入会时长。这些行为数据是线下教学很难得到的。

2.1 线上教学的优点

①线上教学通过现代信息技术打破了教学的时间与空间限制。理论上只要设备与环境允许即可开展教学活动。同时教师的办公也不受空间的限制，教师可以随时随地发布作业、批改作业等。

②线上教学数据系统、及时、全面，包括学生的结果数据和行为数据。学生的“迟到”“早退”情况一目了然，有助于教师和辅导员进行学风建设。当然这些数据也方便教师对学生进行过程化考核。

③线上教学的教学资源包括教案、预习作业、课后作业、阶段测试以及学生掌握情况的量化体现等，这些在平台上均有存档。这样不仅方便教师随时随地可查，同时教师可以根据往年的教学情况做出必要的调整。

④腾讯会议的弹幕功能让平时性格内向的学生敢于“举手”、敢于“发言”，对于课堂互动与课堂气氛都有很大的促进作用。

⑤腾讯会议的录播功能，一键实现了教学活动视频化。对于学生而言，方便了线下继续巩固学习，并且可以按自己的节奏随时暂停思考和记笔记，这是线下一对多教学活动无法实现的。对于教师而言，可以全面了解自己的授课情况，包括自己是否有不合适的口头禅，或者在教学节奏上是否恰当等。当然腾讯会议暂时未能做到免费云录播，未能实现学生随时观看教学视频，这点雨课堂直播相对更合适。

⑥雨课堂的课堂作业功能能设置答题时间，提高学生上课的注意力。同时教师可以通过答题情况，全面且及时地了解同学的掌握情况，以便实时调整授课节奏，从而做到授课时间分配合理，对知识点的讲解详略得当。

⑦雨课堂能上传课件，并且可以永久存档，学生可以随时随地查看。同时雨课堂针对课件设置的“不懂”功能，有助于部分不愿意主动与教师沟通的学生自然地表达自己，方便教师针对不同学生实施个性化讲解。

⑧现有的MOOC 视频资源，对于学生针对性的预习有极大帮助，配合MOOC 的习题，教师通过雨课堂制作发布对应的预习测试，能很好地掌握同学们的预习情况，从而更好地分配教学时间。

2.2 线上教学的不足

①不管是借助MOOC 资源的课前预习，还是通过腾讯会议结合雨课堂的课上教学，以及通过雨课堂发布的课后作业，都有一个共性，那就是需要学生具有较高的自律性。虽然这些教学平台的很多功能都是在督促学生按时按要求学习，但依旧只能起到促进作用。因此，每个家庭为学生创造一个优良、健康的学习环境，让每一位学生在隔空管理的前提下提高自律性是必然的[4]。

②学生作业抄袭现象严重，期末测试非必须不建议线上完成。主要原因是为了方便系统自动批改，线上作业客观题偏多；
手机作为答题工具，同时也是通讯设备；
阶段测试虽然做了监考安排，但学生答案严重雷同，线上监考很难体现监考老师的威慑力。

③线上教学很难营造出活跃的学习氛围，不管是学生与学生还是学生与教师之间的互动相比线下都差很多。虽然腾讯会议也引入了小组讨论等功能，但还是很难达到线下互动的效果。

在线上教学的过程中，腾讯会议虽然设计了非常多人性化的功能，但它更多是作为一个直播工具。MOOC 资源和雨课堂的很多功能对于线下教学有很好的促进作用。可尝试利用现有优秀的MOOC 资源结合雨课堂实现线上线下结合的混合式教学模式，从而做到课前-课中-课后的三方联动。同时，对于自律性强的学生，雨课堂能实现其与教师的高效互通，教师可以针对个别学生推送更多学习资源，比如：微积分板块的历年考研真题、matlab 在微积分中的应用、微积分的发展史等，从而让想学的学生有东西可学。

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